Để biểu thức \( A = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} \) nhận giá trị nguyên, ta cần phân tích điều kiện của nó.

1. Đặt \( y = \sqrt{x} \), do đó \( A \) có thể được viết lại là:
\[
A = \frac{2y - 1}{y + 3}
\]

2. Để \( A \) là số nguyên, ta có thể viết lại biểu thức:
\[
A = \frac{2y - 1}{y + 3} = k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

3. Cách re-arranging phương trình này là:
\[
2y - 1 = k(y + 3)
\]
\[
2y - 1 = ky + 3k
\]
\[
2y - ky = 3k + 1
\]
\[
y(2 - k) = 3k + 1
\]
\[
y = \frac{3k + 1}{2 - k}
\]

4. Yêu cầu để \( y \) (và do đó \( \sqrt{x} \)) phải là một số không âm và là một số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( 2 - k \) khác 0, để tránh chia cho 0.

5. Điều kiện \( 3k + 1 \) cũng phải chia hết cho \( 2 - k \). Do đó, \( k \) cần thỏa mãn:
\[
2 - k > 0 \Rightarrow k < 2
\]
tức là \( k \) có thể nhận các giá trị: \( k = 0, 1 \).

### Trường hợp \( k = 0 \):
\[
y(2 - 0) = 3(0) + 1 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \quad \text{(không hợp lệ, không nguyên)}
\]

### Trường hợp \( k = 1 \):
\[
y(2 - 1) = 3(1) + 1 \Rightarrow y = 4
\]

Do đó, \( \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16 \).

### Chúng ta kiểm tra
\[
A = \frac{2\sqrt{16} - 1}{\sqrt{16} + 3} = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4 + 3} = \frac{8 - 1}{7} = \frac{7}{7} = 1 \quad \text{(nguyên)}
\]

Vậy, nghiệm duy nhất là:
\[
\boxed{16}
\]