Tìm số nguyên n để n² + 3n + 1 chia hết cho n + 2
Giải quyết bài toán
Phương pháp: Sử dụng phép chia đa thức để tìm điều kiện của n.

Giải:

Ta có: n² + 3n + 1 chia hết cho n + 2

Để thực hiện phép chia, ta có thể đặt phép chia như sau:

n - 1
n + 2 | n² + 3n + 1
- (n² + 2n)
n + 1
- (n + 2)
-1

Từ phép chia trên, ta thấy phần dư là -1.

Để n² + 3n + 1 chia hết cho n + 2 thì phần dư phải bằng 0.

Vậy ta có phương trình: -1 = 0 (vô nghiệm)

Kết luận: Không tồn tại số nguyên n nào để n² + 3n + 1 chia hết cho n + 2.

Giải thích:

Khi thực hiện phép chia đa thức, ta nhận thấy phần dư luôn là -1 và không thể bằng 0 với bất kỳ giá trị nguyên nào của n.
Điều này có nghĩa là biểu thức n² + 3n + 1 không chia hết cho n + 2 với mọi số nguyên n.
Kết quả cuối cùng:

Không có giá trị nguyên nào của n thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Như vậy, không có số nguyên n nào để n² + 3n + 1 chia hết cho n + 2.

Để giải bài toán \( n^2 + 3n + 1 \) chia hết cho \( n + 2 \), chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) sao cho thương \( \frac{n^2 + 3n + 1}{n + 2} \) là số nguyên.

Đầu tiên, ta có thể sử dụng quy tắc chia đối với đa thức. Ta thực hiện phân tích \( n^2 + 3n + 1 \) theo \( n + 2 \).

### Bước 1: Chia đa thức

Chia \( n^2 + 3n + 1 \) cho \( n + 2 \):

1. Lấy \( n^2 \) chia cho \( n \) được \( n \).
2. Nhân \( n \) với \( n + 2 \) được \( n^2 + 2n \).
3. Trừ \( n^2 + 2n \) khỏi \( n^2 + 3n + 1 \):

\[
(n^2 + 3n + 1) - (n^2 + 2n) = n + 1
\]

4. Tiếp tục với phần dư \( n + 1 \):

- Lấy \( n \) chia cho \( n \) được \( 1 \).
- Nhân \( 1 \) với \( n + 2 \) được \( n + 2 \).
- Trừ \( n + 2 \) khỏi \( n + 1 \):

\[
(n + 1) - (n + 2) = -1
\]

Vậy ta có được:

\[
n^2 + 3n + 1 = (n + 2)(n + 1) - 1
\]

### Bước 2: Điều kiện chia hết

Để \( n^2 + 3n + 1 \) chia hết cho \( n + 2 \), phần dư \( -1 \) phải bằng 0, tức là:

\[
-1 = 0 \quad \text{( điều này không xảy ra )}
\]

Như vậy, ta biết rằng \( n^2 + 3n + 1 \) không thể chia hết ngay cả khi phần dư ra là một số nguyên -1. Tuy nhiên, ta còn có thể thử tìm các giá trị của \( n \) mà làm cho \( n + 2 \) chia hết cho \( n + 2 \) nhưng cũng là điều kiện cần.

### Bước 3: Tìm giá trị n

Áp dụng điều kiện còn lại:

Ta muốn:

\[
n^2 + 3n + 1 \equiv 0 \pmod{n + 2}
\]

Nên ta giải:

\[
n + 2 = 0 \Rightarrow n = -2
\]

### Bước 4: Kiểm tra giá trị:

Ta thử \( n = -2 \):

\[
n^2 + 3n + 1 = (-2)^2 + 3(-2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1
\]

Tuy nhiên, ta cần tìm tất cả giá trị \( n \):

Như vậy các giá trị khác vẫn có thể thử nghiệm bằng cách giải phương trình sau:

Chúng ta thử nghiệm các giá trị nguyên thực tiễn tạo thành hệ đơn giản khác ngoài \( n + 2 \).

1. \( n^2 + 3n + 1 = k(n + 2) \) cho k là 1

Nếu k=1, ta sẽ thay bằng các giá trị bắt đầu với ta nhận được không ra.

### Kết Luận

Kết luận từ việc thử nghiệm và kiểm tra các phương trình khác, ta tìm ra rằng:

\[
n = -2 \text{ là một nghiệm duy nhất}
\]

Ngoài ra \( n = -2 \) tạo một số nhỏ không ảnh hưởng hiệu quả.