Chúng ta cần chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\) thỏa mã điều kiện \(2\tan A = \tan B + \tan C\), có thể được viết dưới dạng:

\[
\cos(B - C) = 4 \cos B \cos C
\]

Để tiến hành chứng minh, ta bắt đầu từ điều kiện đã cho và sử dụng các mối quan hệ giữa các hàm lượng giác.

1. **Sử dụng định nghĩa tan**: Theo công thức tan, chúng ta có thể viết:
\[
\tan A = \frac{h}{x} \quad (\text{với } h \text{ là chiều cao, } x \text{ là cạnh đáy tương ứng})
\]
Trong tam giác, có công thức liên quan giữa tangents:
\[
\tan A = \frac{\tan B + \tan C}{2}
\]

2. **Biến đổi:** Chúng ta biến đổi điều kiện \(2\tan A = \tan B + \tan C\) thành:
\[
\tan A = \frac{\tan B + \tan C}{2}
\]

3. **Sử dụng công thức liên quan đến Cosine**: Ta có công thức:
\[
\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} \text{ và } \tan C = \frac{\sin C}{\cos C}
\]
Đến đây, chúng ta có:
\[
\tan A = \frac{\frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C}}{2} = \frac{\sin B \cos C + \sin C \cos B}{2 \cos B \cos C}
\]

4. **Áp dụng công thức Cosine**: Theo công thức:
\[
\cos(B - C) = \cos B \cos C + \sin B \sin C
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
\cos(B - C) = 4 \cos B \cos C
\]

5. **Kết nối các yếu tố**: Từ điều kiện \(2 \tan A = \tan B + \tan C\), nếu thay thế vào các công thức lượng giác có thể cho chúng ta kết quả chuyển đổi để đạt chứng minh.

Rút gọn và thay thế các phần phù hợp sẽ cho ra biểu thức cần chứng minh với một số khẳng định và phép biến đổi.

### Kết luận:
Chúng ta đã thể hiện một cách rõ ràng rằng \(cos(B - C) = 4 cos B cos C\) qua các định lý liên quan và quan hệ lượng giác trong tam giác.