Chúng ta sẽ giải quyết các phương trình \( \cos(x + 10^\circ) = 55^\circ \) và \( \cos(2x + \frac{\pi}{5}) = -1 \) một cách riêng biệt.

### Phương trình 1: \( \cos(x + 10^\circ) = 55^\circ \)

Phương trình đầu tiên \( \cos(x + 10^\circ) = 55^\circ \) có vẻ không hợp lệ vì giá trị của hàm cos chỉ nằm trong khoảng từ -1 đến 1. \( 55^\circ \) là một góc, không phải là giá trị trong khoảng của hàm cos.

### Phương trình 2: \( \cos(2x + \frac{\pi}{5}) = -1 \)

Đối với phương trình thứ hai \( \cos(2x + \frac{\pi}{5}) = -1 \), ta biết rằng cos bằng -1 tại các bội số lẻ của \( \pi \):

\[
2x + \frac{\pi}{5} = (2n + 1)\pi \quad \text{với } n \in \mathbb{Z}
\]

Giải phương trình này cho \( x \):

1. Sắp xếp lại phương trình:
\[
2x = (2n + 1)\pi - \frac{\pi}{5}
\]

2. Để cộng các hạng tử, biểu diễn \((2n + 1)\pi\) với mẫu số chung:
\[
2x = \frac{(2n + 1)5\pi - \pi}{5} = \frac{(10n + 5 - 1)\pi}{5} = \frac{(10n + 4)\pi}{5}
\]

3. Chia cho 2:
\[
x = \frac{(10n + 4)\pi}{10} = \frac{(5n + 2)\pi}{5}
\]

Vậy, nghiệm cho phương trình thứ hai là:
\[
x = \frac{(5n + 2)\pi}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

### Tóm tắt

- Phương trình đầu tiên không có nghiệm hợp lệ.
- Nghiệm của phương trình thứ hai là \( x = \frac{(5n + 2)\pi}{5} \), với \( n \) là bất kỳ số nguyên nào.