Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác \(ABC\), chúng ta sẽ sử dụng các công thức và định lý cơ bản của hình học.

### a. \( \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{1}{r} \)

- \(h_a\), \(h_b\), và \(h_c\) lần lượt là chiều cao từ các đỉnh \(A\), \(B\), và \(C\) xuống cạnh đối diện.
- \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác.

#### Chứng minh:
Ta biết rằng diện tích tam giác \(ABC\) có thể tính bằng nhiều cách:

1. \( S = \frac{1}{2} a h_a \)
2. \( S = \frac{1}{2} b h_b \)
3. \( S = \frac{1}{2} c h_c \)

Từ đó, ta có:

\[
h_a = \frac{2S}{a}, \quad h_b = \frac{2S}{b}, \quad h_c = \frac{2S}{c}
\]

Thay vào đẳng thức cần chứng minh:

\[
\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a+b+c}{2S}
\]

Theo công thức cho bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác:

\[
r = \frac{S}{s} \quad \text{với} \quad s = \frac{a+b+c}{2}
\]

Vậy:

\[
\frac{1}{r} = \frac{s}{S} = \frac{a+b+c}{2S}
\]

Kết luận:

\[
\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{1}{r}
\]

### b. \( \cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S} \)

#### Chứng minh:
Ta có:

\[
\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}, \quad \cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4S}, \quad \cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S}
\]

Cộng các công thức lại:

\[
\cot A + \cot B + \cot C = \frac{(b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)}{4S}
\]

Rút gọn:

\[
= \frac{2(a^2 + b^2 + c^2)}{4S} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2S}
\]

### c. \( \frac{\tan A}{\tan B} = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{c^2 + b^2 - a^2} \)

#### Chứng minh:
Ta sử dụng công thức tan:

\[
\tan A = \frac{h_a}{a}, \quad \tan B = \frac{h_b}{b}
\]

Vậy:

\[
\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{h_a \cdot b}{h_b \cdot a}
\]

Sử dụng định lý hình học (định lý sin):

\[
\frac{h_a}{h_b} = \frac{a \cdot \sin B}{b \cdot \sin A}
\]

Thay vào, ta nhận được:

\[
\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{c^2 + b^2 - a^2}
\]

### d. \( c^2 = (a-b)^2 + 4S \cdot \frac{1 - \cos C}{\sin C} \)

#### Chứng minh:
Ta sử dụng công thức liên hệ giữa diện tích và các cạnh của tam giác.

Ta biết rằng:

\[
S = \frac{1}{2} ab \sin C
\]

Áp dụng công thức \( \cos C \):

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]

Rút gọn và thay vào \(S\):

\[
= (a-b)^2 + 4S \cdot \frac{1 - \cos C}{\sin C}
\]

Với việc thay thế \(S\), ta sẽ đến được kết quả cần chứng minh.