Chúng ta sẽ giải từng câu một.

### Câu a)
Ta cần tìm số tự nhiên \( n \) sao cho:

\[
(2^{3n + 4} + 3^{2n + 1}) \equiv 19
\]

Ta sẽ xem xét từng thành phần trong biểu thức:

1. **\( 2^{3n + 4} \)**: Tính giá trị modulo 19. Dùng định lý Fermat, ta có:
\[
2^{18} \equiv 1 \mod 19
\]
Do đó, cần tìm \( 3n + 4 \mod 18 \).

2. **\( 3^{2n + 1} \)**: Tương tự,
\[
3^{18} \equiv 1 \mod 19
\]
Cần tìm \( 2n + 1 \mod 18 \).

Giả sử \( n = 0 \):
- \( 2^{4} = 16 \)
- \( 3^{1} = 3 \)
- \( 16 + 3 = 19 \) (đúng)

Giả sử \( n = 1 \):
- \( 2^{7} = 128 \equiv 14 \mod 19 \)
- \( 3^{3} = 27 \equiv 8 \mod 19 \)
- \( 14 + 8 = 22 \equiv 3 \mod 19 \) (sai)

Giả sử \( n = 2 \):
- \( 2^{10} = 1024 \equiv 7 \mod 19 \)
- \( 3^{5} = 243 \equiv 16 \mod 19 \)
- \( 7 + 16 = 23 \equiv 4 \mod 19 \) (sai)

Tiếp tục cho đến khi tìm được bội số của 18:
- Khi \( n = 18k \), \( k = 0, 1, 2, \ldots \): dễ thấy nghiệm thỏa mãn.

**Kết luận**: Nghiệm là bội của 18 (0, 18, ...).

### Câu b)
Ta cần tìm \( n \) sao cho:

\[
(n \cdot 2^{n + 1}) \equiv 13
\]

Thử với một vài giá trị:

- **Khi \( n = 1 \)**:
\[
1 \cdot 2^{1 + 1} = 1 \cdot 4 = 4 \quad (\text{sai})
\]
- **Khi \( n = 2 \)**:
\[
2 \cdot 2^{2 + 1} = 2 \cdot 8 = 16 \quad (\text{sai})
\]
- **Khi \( n = 3 \)**:
\[
3 \cdot 2^{3 + 1} = 3 \cdot 16 = 48 \quad (\text{sai})
\]
- **Khi \( n = 4 \)**:
\[
4 \cdot 2^{4 + 1} = 4 \cdot 32 = 128 \quad (\text{sai})
\]

Thử với giá trị âm và tiếp tục tìm kiếm.

Không có giá trị nào là nghiệm tự nhiên. Do đó, không có \( n \) tự nhiên nào thỏa mãn.

**Kết luận**: Không có nghiệm nào cho câu b.

Để giải bài toán a) và b) của bạn, chúng ta sẽ lần lượt tìm các số tự nhiên \( n \) thỏa mãn các phương trình đã cho.

### Câu a:

Phương trình cần tìm là:

\[
(2^{3n + 4} + 3^{2n + 1}) \mod 19 = 0
\]

Đầu tiên, chúng ta tìm từng phần của biểu thức \( 2^{3n + 4} \mod 19 \) và \( 3^{2n + 1} \mod 19 \).

**Bước 1: Tính chu kỳ của \( 2^k \mod 19 \)**

Theo định lý Fermat, vì 19 là số nguyên tố, \( 2^{18} \equiv 1 \mod 19 \).
- Tính một số giá trị của \( 2^k \mod 19 \):
- \( 2^0 \equiv 1 \)
- \( 2^1 \equiv 2 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \)
- \( 2^3 \equiv 8 \)
- \( 2^4 \equiv 16 \)
- \( 2^5 \equiv 13 \)
- \( 2^6 \equiv 7 \)
- \( 2^7 \equiv 15 \)
- \( 2^8 \equiv 11 \)
- \( 2^9 \equiv 3 \)
- \( 2^{10} \equiv 6 \)
- \( 2^{11} \equiv 12 \)
- \( 2^{12} \equiv 5 \)
- \( 2^{13} \equiv 10 \)
- \( 2^{14} \equiv 1 \)

**Bước 2: Tính chu kỳ của \( 3^k \mod 19 \)**

Tương tự, với \( 3 \):
- Tính một số giá trị của \( 3^k \mod 19 \):
- \( 3^0 \equiv 1 \)
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \)
- \( 3^3 \equiv 8 \)
- \( 3^4 \equiv 5 \)
- \( 3^5 \equiv 11 \)
- \( 3^6 \equiv 14 \)
- \( 3^7 \equiv 1 \)

**Bước 3: Thay \( n \) vào biểu thức**

Bây giờ ta sẽ thay \( n \) vào để tính:

\[
2^{3n + 4} \mod 19
\]
Ta có \( 3n + 4 \mod 18 \) sẽ tìm ra giá trị tương ứng.

\[
3n + 4 \equiv 0 \mod 18 \implies 3n \equiv -4 \mod 18 \implies 3n \equiv 14 \mod 18 \implies n \equiv 4 \mod 6 \implies n = 6k + 4
\]
Vậy \( n \) có thể nhận giá trị \( 4, 10, 16, ...\)

Tiếp theo, ta cũng cần kiểm tra giá trị của \( 3^{2n + 1} \mod 19 \) và cộng với giá trị của \( 2^{3n + 4} \) để xem hai số này có đủ điều kiện chia hết cho 19 không.

Do đó, với \( n = 18k + d \) (\( d = 0, 4 \)), ta có thể thay để xác định nghiệm.

### Câu b:

Phương trình là:

\[
(n \cdot 2^{n + 1}) \mod 13 = 0
\]

**Bước 1: Tìm điều kiện chia hết cho 13**

Phương trình trên sẽ chia hết cho 13 nếu:
1. \( n \equiv 0 \mod 13 \) hoặc
2. \( 2^{n + 1} \equiv 0 \mod 13 \) (nhưng \( 2^{n + 1} \) không bao giờ bằng 0 vì 2 không phải là 0 trong modulo 13)

Từ đó, ta có thể kết luận rằng \( n \) phải là bội số của 13:
\[
n = 0, 13, 26, ...
\]

### Kết luận:

- Câu a: Bạn đã tìm ra rằng \( n \equiv 0 \) hoặc \( n \equiv 18 \). Cần kiểm tra trong từng trường hợp cho đảm bảo \( 2^{3n + 4} + 3^{2n + 1} \equiv 0 \mod 19 \) cho tất cả giá trị.
- Câu b: \( n \) là bội số của 13 như đã phân tích.

Hy vọng rằng điều này giúp ích cho bạn trong việc tìm ra các giá trị nghiệm của \( n \). Nếu có thắc mắc nào khác, hãy cho tôi biết!