Để chứng minh bất đẳng thức \( x - x^2 - 1 < 0 \) với mọi giá trị của \( x \), ta sẽ chuyển đổi bất đẳng thức này thành dạng phương trình và phân tích.

### Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức

Ta có:
\[
x - x^2 - 1 < 0
\]
Biến đổi lại ta được:
\[
-x^2 + x - 1 < 0
\]
Hoặc:
\[
-x^2 + x - 1 = - (x^2 - x + 1) < 0
\]

### Bước 2: Xét phương trình bậc hai

Ta sẽ xem xét biểu thức \( x^2 - x + 1 \) để xem nó có bao giờ bằng 0 hay không.

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai \( x^2 - x + 1 = 0 \), ta tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]

### Bước 3: Phân tích giá trị của biểu thức

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( x^2 - x + 1 = 0 \) không có nghiệm thực, điều này có nghĩa là \( x^2 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \).

### Bước 4: Kết luận về bất đẳng thức

Do đó, ta có:
\[
- (x^2 - x + 1) < 0 \quad \text{với mọi } x
\]
hay:
\[
x - x^2 - 1 < 0 \quad \text{với mọi } x
\]

Vậy bất đẳng thức \( x - x^2 - 1 < 0 \) đúng với mọi giá trị của \( x \).

Để chứng minh bất đẳng thức x−x2−1<0x−x2−1<0 với mọi giá trị của xx, ta sẽ chuyển đổi bất đẳng thức này thành dạng phương trình và phân tích.

### Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức

Ta có:
x−x2−1<0x−x2−1<0
Biến đổi lại ta được:
−x2+x−1<0−x2+x−1<0
Hoặc:
−x2+x−1=−(x2−x+1)<0−x2+x−1=−(x2−x+1)<0

### Bước 2: Xét phương trình bậc hai

Ta sẽ xem xét biểu thức x2−x+1x2−x+1 để xem nó có bao giờ bằng 0 hay không.

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai x2−x+1=0x2−x+1=0, ta tính delta (ΔΔ):
Δ=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅1=1−4=−3Δ=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅1=1−4=−3

### Bước 3: Phân tích giá trị của biểu thức

Vì Δ<0Δ<0, phương trình x2−x+1=0x2−x+1=0 không có nghiệm thực, điều này có nghĩa là x2−x+1>0x2−x+1>0 với mọi xx.

### Bước 4: Kết luận về bất đẳng thức

Do đó, ta có:
−(x2−x+1)<0với mọi x−(x2−x+1)<0với mọi x
hay:
x−x2−1<0với mọi xx−x2−1<0với mọi x

Vậy bất đẳng thức x−x2−1<0x−x2−1<0 đúng với mọi giá trị của xx.