Để chứng minh bất đẳng thức $x - x^2 - 1 < 0$ với mọi giá trị của $x$, ta sẽ chuyển đổi bất đẳng thức này thành dạng phương trình và phân tích.

### Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức

Ta có:
$x - x^2 - 1 < 0$
Biến đổi lại ta được:
$-x^2 + x - 1 < 0$
Hoặc:
$-x^2 + x - 1 = - (x^2 - x + 1) < 0$

### Bước 2: Xét phương trình bậc hai

Ta sẽ xem xét biểu thức $x^2 - x + 1$ để xem nó có bao giờ bằng 0 hay không.

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai $x^2 - x + 1 = 0$, ta tính delta ($\Delta$):
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

### Bước 3: Phân tích giá trị của biểu thức

Vì $\Delta < 0$, phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ không có nghiệm thực, điều này có nghĩa là $x^2 - x + 1 > 0$ với mọi $x$.

### Bước 4: Kết luận về bất đẳng thức

Do đó, ta có:
$- (x^2 - x + 1) < 0 \quad \text{với mọi } x$
hay:
$x - x^2 - 1 < 0 \quad \text{với mọi } x$

Vậy bất đẳng thức $x - x^2 - 1 < 0$ đúng với mọi giá trị của $x$.

Để chứng minh bất đẳng thức x−x2−1<0x−x2−1<0 với mọi giá trị của xx, ta sẽ chuyển đổi bất đẳng thức này thành dạng phương trình và phân tích.

### Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức

Ta có:
x−x2−1<0x−x2−1<0
Biến đổi lại ta được:
−x2+x−1<0−x2+x−1<0
Hoặc:
−x2+x−1=−(x2−x+1)<0−x2+x−1=−(x2−x+1)<0

### Bước 2: Xét phương trình bậc hai

Ta sẽ xem xét biểu thức x2−x+1x2−x+1 để xem nó có bao giờ bằng 0 hay không.

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai x2−x+1=0x2−x+1=0, ta tính delta (ΔΔ):
Δ=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅1=1−4=−3Δ=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅1=1−4=−3

### Bước 3: Phân tích giá trị của biểu thức

Vì Δ<0Δ<0, phương trình x2−x+1=0x2−x+1=0 không có nghiệm thực, điều này có nghĩa là x2−x+1>0x2−x+1>0 với mọi xx.

### Bước 4: Kết luận về bất đẳng thức

Do đó, ta có:
−(x2−x+1)<0với mọi x−(x2−x+1)<0với mọi x
hay:
x−x2−1<0với mọi xx−x2−1<0với mọi x

Vậy bất đẳng thức x−x2−1<0x−x2−1<0 đúng với mọi giá trị của xx.