Để tính góc A^\widehat{A}A trong hình thoi ABCD, ta có các thông tin sau:

AB = a (các cạnh của hình thoi bằng nhau),
BD = a3a\sqrt{3}a3​ (đường chéo BD).
Vì trong hình thoi, các đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm, nên tam giác OAB (với O là giao điểm của hai đường chéo) là tam giác vuông tại O.

Bước 1: Xác định độ dài các đoạn
Đường chéo BD cắt nhau tại O, nên BO=BD2=a32BO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}BO=2BD​=2a3​​.

Tam giác OAB là tam giác vuông tại O, có cạnh huyền AB = a và một cạnh góc vuông BO = a32\frac{a\sqrt{3}}{2}2a3​​.

Bước 2: Sử dụng định lý Pythagoras
Trong tam giác vuông OAB:

AB2=AO2+BO2AB^2 = AO^2 + BO^2AB2=AO2+BO2Thay AB=aAB = aAB=a và BO=a32BO = \frac{a\sqrt{3}}{2}BO=2a3​​, ta có:

a2=AO2+(a32)2a^2 = AO^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2a2=AO2+(2a3​​)2 a2=AO2+3a24a^2 = AO^2 + \frac{3a^2}{4}a2=AO2+43a2​Giải phương trình này để tìm AO:

a2−3a24=AO2a^2 - \frac{3a^2}{4} = AO^2a2−43a2​=AO2 4a2−3a24=AO2\frac{4a^2 - 3a^2}{4} = AO^244a2−3a2​=AO2 a24=AO2\frac{a^2}{4} = AO^24a2​=AO2 AO=a2AO = \frac{a}{2}AO=2a​Bước 3: Tính góc A^\widehat{A}A
Bây giờ ta dùng hàm lượng giác để tính góc A^\widehat{A}A. Trong tam giác vuông OAB, ta có:

tan⁡(AOB^)=BOAO=a32a2=3\tan(\widehat{AOB}) = \frac{BO}{AO} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}tan(AOB)=AOBO​=2a​2a3​​​=3​Từ đó suy ra:

AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circAOB=60∘Vì A^=2×AOB^\widehat{A} = 2 \times \widehat{AOB}A=2×AOB (vì góc A là góc ở đỉnh của hình thoi và đường chéo chia góc đó làm hai phần bằng nhau), nên:

A^=2×60∘=120∘\widehat{A} = 2 \times 60^\circ = 120^\circA=2×60∘=120∘Vậy góc A^\widehat{A}A của hình thoi ABCD là 120∘120^\circ120∘.