Để chứng minh rằng phân số

\[
\frac{2a + 2020b}{3a + 2019b}
\]

không phải là phân số tối giản, ta sẽ tìm ước số chung lớn nhất của tử số và mẫu số.

### Bước 1: Xét điều kiện chia hết

Theo giả thiết, ta có:

\[
a + 2021b \equiv 0 \pmod{2022}
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
a \equiv -2021b \pmod{2022}
\]

### Bước 2: Tính tử số và mẫu số

1. **Tử số**:

\[
2a + 2020b = 2(-2021b + 2022k) + 2020b = -4042b + 4042k + 2020b = -2022b + 4042k
\]

2. **Mẫu số**:

\[
3a + 2019b = 3(-2021b + 2022k) + 2019b = -6063b + 6066k + 2019b = -4044b + 6066k
\]

### Bước 3: Tính ước số chung lớn nhất

Ta sẽ tìm ước số chung lớn nhất của tử số và mẫu số:

- Tử số: \(-2022b + 4042k\)
- Mẫu số: \(-4044b + 6066k\)

Ta nhận thấy rằng cả tử số và mẫu số đều có thể chia hết cho 2022:

- **Tử số**: \(2022 \text{(chứ b và k)}\)
- **Mẫu số**: \(2022 \text{(chứ b và k)}\)

### Bước 4: Kết luận

Vì cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 2022, nên phân số

\[
\frac{2a + 2020b}{3a + 2019b}
\]

không phải là phân số tối giản. Điều này có nghĩa là nó có thể được rút gọn, do đó, phân số không phải là tối giản.

Vậy, ta đã chứng minh rằng phân số

\[
\frac{2a + 2020b}{3a + 2019b}
\]

không phải là phân số tối giản.

Giải thích các bước giải:

1.Gọi ULCN(2a+2020b,3a+2019b)=d,d∈N∗ULCN(2a+2020b,3a+2019b)=d,d∈N∗

→{2a+2020b⋮d3a+2019b⋮d→{2a+2020b⋮d3a+2019b⋮d

→⎧⎨⎩2a+2020b−(3a+2019b)⋮d3a+2019b⋮d→{2a+2020b−(3a+2019b)⋮d3a+2019b⋮d

→{b−a⋮d3a+2019b⋮d→{b−a⋮d3a+2019b⋮d

→⎧⎨⎩b−a⋮d3a+2019b+2(b−a)⋮d→{b−a⋮d3a+2019b+2(b−a)⋮d

→{b−a⋮da+2021b⋮d→{b−a⋮da+2021b⋮d

→{b−a+a+2021b⋮da+2021b⋮d→{b−a+a+2021b⋮da+2021b⋮d

→{2022b⋮da+2021b⋮d→{2022b⋮da+2021b⋮d

Vì a+2021b⋮2022a+2021b⋮2022

→2022⋮d→2022⋮d

→ULCN(2a+2020b,3a+2019b)≠1→ULCN(2a+2020b,3a+2019b)≠1

→2a+2020b3a+2019b→2a+2020b3a+2019b không tối giản

2.Ta có:

1−11+2+3+4+....+n=1−1n(n+1)2=1−2n(n+1)1−11+2+3+4+....+n=1−1n(n+1)2=1−2n(n+1)

→1−11+2+3+4+....+n=n(n+1)−2n(n+1)→1−11+2+3+4+....+n=n(n+1)−2n(n+1)

→1−11+2+3+4+....+n=n2+n−2n(n+1)→1−11+2+3+4+....+n=n2+n−2n(n+1)

→1−11+2+3+4+....+n=n2+2n−n−2n(n+1)→1−11+2+3+4+....+n=n2+2n−n−2n(n+1)

→1−11+2+3+4+....+n=n(n+2)−(n+2)n(n+1)→1−11+2+3+4+....+n=n(n+2)−(n+2)n(n+1)

→1−11+2+3+4+....+n=(n−1)(n+2)n(n+1)→1−11+2+3+4+....+n=(n−1)(n+2)n(n+1)

Áp dụng ta có:

Pn=(2−1)⋅(2+2)2⋅(2+1)⋅(3−1)⋅(3+2)3⋅(3+1)⋅(4−1)⋅(4+2)4⋅(4+1)⋅...(n−1)(n+2)n(n+1)Pn=(2−1)⋅(2+2)2⋅(2+1)⋅(3−1)⋅(3+2)3⋅(3+1)⋅(4−1)⋅(4+2)4⋅(4+1)⋅...(n−1)(n+2)n(n+1)

→Pn=1⋅42⋅3⋅2⋅53⋅4⋅3⋅64⋅5⋅...(n−1)(n+2)n(n+1)→Pn=1⋅42⋅3⋅2⋅53⋅4⋅3⋅64⋅5⋅...(n−1)(n+2)n(n+1)

→Pn=1⋅2⋅3....(n−1)2⋅3⋅4....n⋅4⋅5⋅6......(n+2)3⋅4⋅5....(n+1)→Pn=1⋅2⋅3....(n−1)2⋅3⋅4....n⋅4⋅5⋅6......(n+2)3⋅4⋅5....(n+1)

→Pn=1n⋅n+23→Pn=1n⋅n+23

→Pn=n+23n→Pn=n+23n

Để 1Pn∈Z1Pn∈Z

→3nn+2∈Z→3nn+2∈Z

→3n⋮n+2→3n⋮n+2

→3n+6−6⋮n+2→3n+6−6⋮n+2

→3(n+2)−6⋮n+2→3(n+2)−6⋮n+2

→6⋮n+2→6⋮n+2

→n+2∈{1,2,3,6}→n+2∈{1,2,3,6} 

→n∈{−1,0,1,4}→n∈{−1,0,1,4}

→n∈{1,4}→n∈{1,4} vì n∈Z+