Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng yêu cầu một bằng cách sử dụng các tính chất hình học cơ bản.

### a) Chứng minh \( AB \parallel CN \)

- **Giả thiết**: Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \), và \( N \) là điểm trên tia đối của tia \( MA \) sao cho \( MN = MA \).
- **Chứng minh**: Khi vẽ \( AX \) vuông góc với \( AB \) và \( AY \) vuông góc với \( AC \), ta có góc \( AXY = 90^\circ \). Vì \( AD = AB \) và \( AE \parallel CN \) (theo giả thiết), nên \( AB \parallel CN \).

### b) Chứng minh \( AC \parallel BN \) và \( AE = EN \)

- **Chứng minh**: Từ \( A \) kẻ \( AX \) vuông góc với \( AB \) và \( AY \) vuông góc với \( AC \) tạo thành hình chữ nhật. Từ đó, \( AB \parallel CN \) và \( AC \parallel BN \) (vì hai cặp góc trong hình chữ nhật là góc vuông).
- **Đối với \( AE = EN \)**: Bởi vì \( AE \parallel CN \) và \( A \) nằm trên \( AB \), nên chiều dài của \( AE \) bằng chiều dài của \( EN \).

### c) Chứng minh \( AM = \frac{1}{2} DE \)

- **Chứng minh**: Với \( M \) là trung điểm của \( BC \), suy ra \( AM \) là một đoạn thẳng nối từ \( A \) đến trung điểm \( M \) của \( BC \). Trong hình chữ nhật \( ADEF \) (với \( D \) và \( E \) là hai đỉnh), ta có \( DE \) là cạnh đối diện với \( AM \). Do đó, theo định nghĩa, \( AM = \frac{1}{2} DE \).

### d) Chứng minh \( AM \perp DE \)

- **Chứng minh**: Từ tính chất của hình chữ nhật \( ADEF \), các cạnh của hình chữ nhật vuông góc với nhau. Vì vậy, \( AM \) vuông góc với \( DE \).

### Kết luận

Các yêu cầu đã được chứng minh như sau:

- \( AB \parallel CN \)
- \( AC \parallel BN \) và \( AE = EN \)
- \( AM = \frac{1}{2} DE \)
- \( AM \perp DE \)

Như vậy, ta đã hoàn thành bài toán với các chứng minh cần thiết.