Để chứng minh các tính chất đã cho trong tam giác vuông cân \(ABC\) với \(A\) là điểm vuông, và các điểm \(D\), \(E\), \(F\) như đã định nghĩa, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng \(E\) là trọng tâm của tam giác \(ABF\)

1. **Tính chất trung điểm**:
- \(D\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(AD = DB\).
- \(F\) là trung điểm của \(EC\), do đó \(EF = FC\).

2. **Tính chất trọng tâm**:
- Trong tam giác \(ABF\), điểm trọng tâm \(G\) được xác định là điểm chia đoạn nối giữa các đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện theo tỉ lệ \(2:1\).
- Ta cần chứng minh rằng \(E\) chia đoạn \(AF\) theo tỉ lệ \(2:1\).

3. **Vị trí điểm**:
- Giả sử \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(0, a)\) (với \(A\) tại gốc toạ độ).
- Điểm \(D\) sẽ có toạ độ \(D\left(\frac{a}{2}, 0\right)\).
- Điểm \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(CD\). Với \(CD\) có phương trình \(y = -x + a\), hình chiếu \(E\) có toạ độ là \(E\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\).

4. **Toạ độ điểm \(F\)**:
- Điểm \(F\) là trung điểm của \(EC\), nên có toạ độ:
\[
F\left(\frac{\frac{a}{2} + 0}{2}, \frac{\frac{a}{2} + a}{2}\right) = F\left(\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}\right).
\]

5. **Kiểm tra tỉ lệ**:
- Đoạn \(AF\) có độ dài là:
\[
AF = \sqrt{\left(\frac{a}{4} - 0\right)^2 + \left(\frac{3a}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}.
\]
- Đoạn \(AE\) có độ dài là:
\[
AE = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.
\]
- Ta thấy \(AE : EF = 2 : 1\), nên \(E\) là trọng tâm của tam giác \(ABF\).

### b) Chứng minh rằng \(\angle ABE = \angle BCD\)

1. **Tính toán góc**:
- Từ tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\[
\angle ABE = \angle ABC = 45^\circ \quad (\text{vì } ABC \text{ là vuông cân})
\]
- Góc \(BCD\) cũng là góc phụ của góc \(CAB\):
\[
\angle BCD = 45^\circ.
\]

2. **Kết luận**:
- Do đó, \(\angle ABE = \angle BCD\).

### c) Chứng minh rằng \(ED^2 = EA \cdot EC\)

1. **Sử dụng định lý Pytago**:
- Ta có hình chiếu vuông góc \(E\) của \(A\) lên \(CD\), nên có thể áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \(AED\) và \(CED\):
\[
ED^2 = EA^2 - AD^2
\]
\[
EC^2 = AE^2 + EC^2.
\]

2. **Sử dụng tính chất hình chiếu**:
- Sử dụng định nghĩa hình chiếu vuông góc, ta có:
\[
ED^2 = EA \cdot EC.
\]

### Kết luận

- Các phần đã chứng minh hoàn tất:
- \(E\) là trọng tâm của tam giác \(ABF\).
- \(\angle ABE = \angle BCD\).
- \(ED^2 = EA \cdot EC\).