Để chứng minh rằng \( a = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{58} + 4^{59} \) chia hết cho 5, ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân.

1. **Công thức tổng của cấp số nhân**:
\[
S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
Với \( a_1 = 1 \), \( r = 4 \), và số hạng cuối cùng là \( 4^{59} \), tổng \( a \) có thể viết lại như sau:
\[
a = \frac{1 - 4^{60}}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{60}}{-3} = \frac{4^{60} - 1}{3}
\]

2. **Chứng minh \( a \) chia hết cho 5**:
Để chứng minh \( a \) chia hết cho 5, ta sẽ kiểm tra \( 4^{60} - 1 \) xem có chia hết cho 15 không (vì \( 3 \) và \( 5 \) là số nguyên tố khác nhau).

- **Bước 1: Kiểm tra \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 5**:
Xét \( 4 \mod 5 \):
\[
4 \equiv -1 \mod 5 \implies 4^{60} \equiv (-1)^{60} \equiv 1 \mod 5
\]
Vậy,
\[
4^{60} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5
\]

- **Bước 2: Kiểm tra \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 3**:
Xét \( 4 \mod 3 \):
\[
4 \equiv 1 \mod 3 \implies 4^{60} \equiv 1^{60} \equiv 1 \mod 3
\]
Vậy,
\[
4^{60} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

3. **Kết luận**:
\( 4^{60} - 1 \) chia hết cho cả 3 và 5, do đó \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 15.

Vậy \( \frac{4^{60} - 1}{3} \) chia hết cho 5, chứng tỏ rằng \( a \) chia hết cho 5.

Do đó, ta có kết luận rằng \( a \) chia hết cho 5.

Để chứng minh rằng \( a = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{58} + 4^{59} \) chia hết cho 5, ta cần tính giá trị của \( a \) và sau đó kiểm tra tính chia hết của nó.

### Bước 1: Tính tổng \( a \)

Tổng này là một chuỗi hình học với bậc đầu tiên là \( 1 \) và công bội là \( 4 \). Sử dụng công thức tổng quát của chuỗi hình học \( S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \), với \( a \) là số hạng đầu, \( r \) là công bội và \( n \) là số hạng.

Ở đây, \( a = 1 \), \( r = 4 \), và số hạng cuối cùng là \( 4^{59} \). Tổng số hạng là \( 60 \) (từ \( 4^0 \) đến \( 4^{59} \)).

Áp dụng công thức:

\[
a = \frac{1(1 - 4^{60})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{60}}{-3} = \frac{4^{60} - 1}{3}
\]

### Bước 2: Kiểm tra tính chia hết của \( a \) cho 5

Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 15 (vì \( 3 \) và \( 5 \) là nguyên tố chính).

1. **Kiểm tra \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 3:**

Xét \( 4 \equiv 1 \mod 3 \), suy ra:
\[
4^{60} \equiv 1^{60} \equiv 1 \mod 3
\]

Do đó:
\[
4^{60} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 3.

2. **Kiểm tra \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 5:**

Xét \( 4 \equiv -1 \mod 5 \), suy ra:
\[
4^{60} \equiv (-1)^{60} \equiv 1 \mod 5
\]

Do đó:
\[
4^{60} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5
\]

Vậy \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho 5.

### Kết luận

Vì \( 4^{60} - 1 \) chia hết cho cả 3 và 5, suy ra nó cũng chia hết cho \( 15 \). Do đó, đại lượng:

\[
a = \frac{4^{60} - 1}{3}
\]

cũng chia hết cho \( 5 \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \( a \) chia hết cho 5.