Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức \( 3n + 1 \) chia hết cho \( n \), ta có thể viết điều kiện chia hết này dưới dạng phương trình. Cụ thể, điều kiện \( 3n + 1 \) chia hết cho \( n \) có thể được biểu diễn như sau:

\[
3n + 1 \equiv 0 \mod n
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
3n + 1 = kn \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên}
\]

Chúng ta có thể biến đổi phương trình trên:

\[
3n + 1 = kn \implies 3n + 1 - kn = 0 \implies 1 = (k - 3)n
\]

Từ phương trình trên, ta có:

\[
(k - 3)n = 1
\]

### Phân tích phương trình

Bây giờ, chúng ta cần phân tích hai trường hợp:

1. **Nếu \( n = 1 \)**:
- Thay vào phương trình:
\[
(k - 3) \cdot 1 = 1 \implies k - 3 = 1 \implies k = 4
\]
- Với \( n = 1 \), ta có:
\[
3n + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4 \quad \text{(chia hết cho } 1\text{)}
\]
- Vậy \( n = 1 \) là một nghiệm.

2. **Nếu \( n > 1 \)**:
- Phương trình \( (k - 3)n = 1 \) chỉ có nghiệm nguyên khi \( n \) là 1, vì \( n \) là số tự nhiên và phải lớn hơn 1. Khi \( n > 1 \), \( (k - 3)n \) không thể bằng 1, vì sản phẩm của một số nguyên dương lớn hơn 1 với \( k - 3 \) (nếu \( k - 3 \) dương) sẽ lớn hơn 1, hoặc nhỏ hơn 1 (nếu \( k - 3 \) âm).

### Kết luận

Vì vậy, nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện \( 3n + 1 \) chia hết cho \( n \) là:

\[
\boxed{1}
\]

Để tìm số tự nhiên nn sao cho biểu thức 3n+13n+1 chia hết cho nn, ta có thể viết điều kiện chia hết này dưới dạng phương trình. Cụ thể, điều kiện 3n+13n+1 chia hết cho nn có thể được biểu diễn như sau:

3n+1≡0modn3n+1≡0modn

Điều này có nghĩa là:

3n+1=knvới k là một số nguyên3n+1=knvới k là một số nguyên

Chúng ta có thể biến đổi phương trình trên:

3n+1=kn⟹3n+1−kn=0⟹1=(k−3)n3n+1=kn⟹3n+1−kn=0⟹1=(k−3)n

Từ phương trình trên, ta có:

(k−3)n=1(k−3)n=1

### Phân tích phương trình

Bây giờ, chúng ta cần phân tích hai trường hợp:

1. **Nếu n=1n=1**:
- Thay vào phương trình:
(k−3)⋅1=1⟹k−3=1⟹k=4(k−3)⋅1=1⟹k−3=1⟹k=4
- Với n=1n=1, ta có:
3n+1=3⋅1+1=4(chia hết cho 1)3n+1=3⋅1+1=4(chia hết cho 1)
- Vậy n=1n=1 là một nghiệm.

2. **Nếu n>1n>1**:
- Phương trình (k−3)n=1(k−3)n=1 chỉ có nghiệm nguyên khi nn là 1, vì nn là số tự nhiên và phải lớn hơn 1. Khi n>1n>1, (k−3)n(k−3)n không thể bằng 1, vì sản phẩm của một số nguyên dương lớn hơn 1 với k−3k−3 (nếu k−3k−3 dương) sẽ lớn hơn 1, hoặc nhỏ hơn 1 (nếu k−3k−3 âm).

### Kết luận

Vì vậy, nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện 3n+13n+1 chia hết cho nn là:

1