Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh ΔAMB = ΔAMC

Ta có tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC. Theo giả thiết, AM là tia phân giác của góc BAC, do đó có:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CM}.$

Vì AB = AC nên:

$\frac{AB}{AC} = 1 = \frac{BM}{CM} \implies BM = CM.$

Xét hai tam giác ΔAMB và ΔAMC, ta có:

- $AB = AC$ (cạnh của tam giác cân)
- $AM$ là chung
- $BM = CM$ (do tia phân giác)

Vậy theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS), chúng ta có:

$\Delta AMB \cong \Delta AMC.$

### Phần b: Chứng minh tam giác AEF cân

Kẻ đường thẳng ME ⊥ AB và MF ⊥ AC. Do AM là tia phân giác của góc BAC nên ta có:

$\angle AEM = \angle AFM = 90^\circ.$

Cùng với đó, ta có:

$\angle AEF = \angle AFE.$

Do đó, tam giác AEF có hai góc bằng nhau, do đó tam giác AEF là tam giác cân tại A.

### Phần c: Chứng minh AM⊥EF

Từ phần b, ta đã biết tam giác AEF cân tại A. Điều này có nghĩa rằng đường cao từ A đến cạnh EF sẽ đi qua M (trung điểm của EF), và do đó AM sẽ là đường cao. Mặt khác, vì AM là tia phân giác của góc BAC, nên AM cũng vuông góc với EF.

Vì vậy, ta có:

$AM \perp EF.$

### Phần d: Chứng minh BE = BI

Kẻ đường thẳng song song với AC tại B và cắt đường thẳng FM tại I. Vì BE || AC, ta có những điều sau:

1. ∠ABE = ∠ABI (góc đồng vị)
2. ∠EAB = ∠IBA (góc trong cùng phía)

Vì hai cặp góc này bằng nhau, theo định lý về đường đồng vị, chúng ta có:

$\frac{AB}{AI} = \frac{BE}{BI}.$

Với điều kiện vừa chứng minh bên trên rằng tam giác AEF là tam giác cân, cùng với đó ta sẽ có BE = BI.

Vậy ta có $BE = BI$, từ đó hoàn thành yêu cầu của phần d.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu của bài toán, bao gồm chứng minh sự đồng dạng của hai tam giác, tính cân của tam giác AEF, tính vuông góc giữa AM và EF, cũng như sự bằng nhau của các đoạn thẳng BE và BI.