Để giải phương trình \( 25 - |x + 7| = 2x + 9 \), ta cần xét hai trường hợp vì phương trình chứa giá trị tuyệt đối \(|x + 7|\).

### Bước 1: Xét trường hợp \(x + 7 \geq 0\)

Khi \(x + 7 \geq 0\), thì \(|x + 7| = x + 7\). Thay vào phương trình, ta có:

\[ 25 - (x + 7) = 2x + 9 \]

Giải phương trình này:

\[
25 - x - 7 = 2x + 9
\]
\[
18 - x = 2x + 9
\]
\[
18 - 9 = 3x
\]
\[
9 = 3x
\]
\[
x = 3
\]

**Kiểm tra điều kiện**: Với \(x = 3\), \(x + 7 = 10\), thỏa mãn điều kiện \(x + 7 \geq 0\). Vậy \(x = 3\) là một nghiệm hợp lệ.

### Bước 2: Xét trường hợp \(x + 7 < 0\)

Khi \(x + 7 < 0\), thì \(|x + 7| = -(x + 7)\). Thay vào phương trình, ta có:

\[ 25 - (-(x + 7)) = 2x + 9 \]
\[ 25 + x + 7 = 2x + 9 \]
\[ 32 + x = 2x + 9 \]
\[ 32 - 9 = x \]
\[ 23 = x \]

**Kiểm tra điều kiện**: Với \(x = 23\), \(x + 7 = 30\), không thỏa mãn điều kiện \(x + 7 < 0\). Vậy \(x = 23\) không phải là nghiệm hợp lệ.

### Kết luận

Nghiệm hợp lệ của phương trình \(25 - |x + 7| = 2x + 9\) là:

\[ x = 3 \]