Để giải bài toán \( 1 + 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{45} \right) \), chúng ta cần xác định quy luật của dãy phân số và tính tổng của nó.

### 1. Xác định Quy Luật của Dãy

Dãy các phân số có mẫu số là 3, 6, 10, ..., 45. Ta cần tìm quy luật chung của các mẫu số này. Quan sát dãy mẫu số, chúng ta thấy:

- Mẫu số đầu tiên là \(3\)
- Mẫu số thứ hai là \(6\)
- Mẫu số thứ ba là \(10\)
- Mẫu số thứ tư là \(15\) (chúng ta bỏ qua, để tìm thêm quy luật có thể có một lỗi ở mẫu số 45)

Ta cần nhận diện quy luật của mẫu số:

- Mẫu số \(n\)-th trong dãy này có vẻ giống như số tam giác. Số tam giác thứ \(n\) là:

\[
T_n = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Kiểm tra mẫu số đã cho:

- Số tam giác đầu tiên là \(T_2 = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3\)
- Số tam giác thứ hai là \(T_3 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\)
- Số tam giác thứ ba là \(T_4 = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10\)
- Số tam giác thứ tư là \(T_5 = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15\)
- Tiếp tục với \(T_6 = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21\)
- Cuối cùng, kiểm tra \(T_9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45\), mẫu số \(45\)

Ta thấy các mẫu số có dạng số tam giác, và chúng ta có:

\[
\frac{1}{T_n} = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}
\]

### 2. Tính Tổng Các Phân Số

Sử dụng công thức phân số tam giác, chúng ta có:

\[
\frac{1}{T_n} = \frac{2}{n(n+1)}
\]

Vì vậy tổng các phân số là:

\[
\sum_{n=2}^{9} \frac{2}{n(n+1)}
\]

Biến đổi phân số:

\[
\frac{2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1}
\]

Vì thế, tổng:

\[
\sum_{n=2}^{9} \left(\frac{2}{n} - \frac{2}{n+1}\right)
\]

Là một chuỗi số học. Tính toán tổng của chuỗi này:

\[
\left( \frac{2}{2} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{4} \right) + \left( \frac{2}{4} - \frac{2}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{2}{9} - \frac{2}{10} \right)
\]

Các thành phần trung gian bị triệt tiêu:

\[
\frac{2}{2} - \frac{2}{10}
\]

Vì vậy:

\[
2 - \frac{2}{10} = 2 - 0.2 = 1.8
\]

### 3. Tính Tổng Cuối Cùng

Tính giá trị của biểu thức:

\[
1 + 2 \times 1.8 = 1 + 3.6 = 4.6
\]

### Kết luận:

Giá trị của biểu thức \( 1 + 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{45} \right) \) là \( 4.6 \).