Để viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \( A(1,2) \), \( B(3,-3) \), và \( C(-4,5) \), ta sử dụng phương pháp hệ phương trình.

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng:

\[
x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0
\]

Với ba điểm \( A(1,2) \), \( B(3,-3) \), và \( C(-4,5) \) thuộc đường tròn, ta thay tọa độ các điểm vào phương trình để có ba phương trình như sau:

1. \( 1^2 + 2^2 + 2a(1) + 2b(2) + c = 0 \)
2. \( 3^2 + (-3)^2 + 2a(3) + 2b(-3) + c = 0 \)
3. \( (-4)^2 + 5^2 + 2a(-4) + 2b(5) + c = 0 \)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm các giá trị của \( a \), \( b \), và \( c \). Sau đó thay vào phương trình tổng quát để tìm phương trình đường tròn. Tôi sẽ giải hệ phương trình này ngay bây giờ.

Sau khi giải hệ phương trình, ta có các giá trị của \( a \), \( b \), và \( c \) như sau:

\[
a = \frac{219}{38}, \quad b = \frac{137}{38}, \quad c = -\frac{588}{19}
\]

Do đó, phương trình đường tròn đi qua ba điểm \( A(1,2) \), \( B(3,-3) \), và \( C(-4,5) \) là:

\[
x^2 + y^2 + \frac{438}{38}x + \frac{274}{38}y - \frac{588}{19} = 0
\]

Bạn cũng có thể đơn giản hóa phương trình này nếu muốn.