Để biểu diễn vector \(\overrightarrow{AM}\) theo vector \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\), ta trước hết cần xác định mối quan hệ giữa các vector này.

Giả sử \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\) và \(\overrightarrow{AC} = \vec{c}\). Theo điều kiện cho trước, ta có:

\[
MB = 3MA
\]

Điều này có nghĩa là tỷ lệ giữa \(MA\) và \(MB\) được xác định như sau:

Gọi \(MA = k\). Khi đó, \(MB = 3k\) và ta có:

\[
AB = AM + MB = k + 3k = 4k
\]

Từ đó, ta có:
\[
MA = \frac{1}{4} AB \quad \text{(vì } AB = 4k\text{)}
\]

Vậy, ngoài việc biểu diễn \(M\) theo \(A\) và \(B\), ta còn có:

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{4} \vec{b}
\]

Bây giờ, để biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\) theo \(\overrightarrow{AC}\), ta cần viết:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}
\]

Tuy nhiên, trực tiếp hơn, với tỉ lệ đoạn \(AB\) đã thiết lập, ta có thể chỉ cần sử dụng tỉ lệ:

Lấy một tỷ lệ thích hợp để biểu diễn qua \(\overrightarrow{AC}\):

\[
\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AC}
\]

để tìm \(\alpha\), ta có thể dùng phương trình:

Vì \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} \), mà chúng ta chưa tính được \(\overrightarrow{BC}\).

Cuối cùng, ta có thể viết:

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC})
\]

Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể nhận định:

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} + một hằng số khác.
\]

Về cơ bản, để biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\) chính xác hơn, cần xác định vị trí của điểm \(C\) để rõ nét hơn. Nhưng tóm lại:

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \quad \text{hoặc } \overrightarrow{AM} = \beta \overrightarrow{AC} \text{ (với một tỷ lệ }\beta\text{ được xác định theo hình học)}
\]

Chúng ta hoàn toàn có thể diễn dịch các vector này theo diện tích của tam giác hay các triệu chứng hình học khác.