Để giải phương trình $\frac{1}{|x+3|} + 4 = \frac{2}{|5x-15|} - 1$, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đưa phương trình về dạng đơn giản

Trước tiên, cộng 1 vào cả hai vế của phương trình để tách phần số hạng tự do:

$\frac{1}{|x+3|} + 4 + 1 = \frac{2}{|5x-15|}$

$\frac{1}{|x+3|} + 5 = \frac{2}{|5x-15|}$

### Bước 2: Đặt biến thay thế

Để dễ dàng hơn, ta đặt $a = |x+3|$ và $b = |5x-15|$. Phương trình trở thành:

$\frac{1}{a} + 5 = \frac{2}{b}$

### Bước 3: Giải phương trình với biến thay thế

Ta giải phương trình này bằng cách đưa nó về dạng đơn giản hơn. Nhân cả hai vế với $ab$:

$b + 5b = 2a$

$6b = 2a$

$a = 3b$

### Bước 4: Thay lại $a$ và $b$

Từ $a = |x+3|$ và $b = |5x-15|$, ta có:

$|x+3| = 3|5x-15|$

### Bước 5: Giải hệ phương trình với giá trị tuyệt đối

Ta sẽ xét các trường hợp khác nhau cho giá trị tuyệt đối.

#### Trường hợp 1: $x + 3 \geq 0$ và $5x - 15 \geq 0$

Khi đó:

$x + 3 = 3(5x - 15)$

$x + 3 = 15x - 45$

$3 + 45 = 15x - x$

$48 = 14x$

$x = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$

Kiểm tra điều kiện $x \geq 3$:

$5 \left(\frac{24}{7}\right) - 15 = \frac{120}{7} - \frac{105}{7} = \frac{15}{7} \geq 0$

Do đó, $x = \frac{24}{7}$ là nghiệm hợp lệ trong trường hợp này.

#### Trường hợp 2: $x + 3 \geq 0$ và $5x - 15 \leq 0$

Khi đó:

$x + 3 = -3(5x - 15)$

$x + 3 = -15x + 45$

$x + 15x = 45 - 3$

$16x = 42$

$x = \frac{42}{16} = \frac{21}{8}$

Kiểm tra điều kiện $x \leq 3$:

$5 \left(\frac{21}{8}\right) - 15 = \frac{105}{8} - \frac{120}{8} = -\frac{15}{8} \leq 0$

Do đó, $x = \frac{21}{8}$ là nghiệm hợp lệ trong trường hợp này.

#### Trường hợp 3: $x + 3 \leq 0$ và $5x - 15 \geq 0$

Khi đó:

$-(x + 3) = 3(5x - 15)$

$-x - 3 = 15x - 45$

$-3 + 45 = 15x + x$

$42 = 16x$

$x = \frac{42}{16} = \frac{21}{8}$

Kiểm tra điều kiện $x \leq -3$:

$\frac{21}{8} > -3$

Do đó, $x = \frac{21}{8}$ không thỏa mãn điều kiện trong trường hợp này.

#### Trường hợp 4: $x + 3 \leq 0$ và $5x - 15 \leq 0$

Khi đó:

$-(x + 3) = -3(5x - 15)$

$-x - 3 = -15x + 45$

$-x + 15x = 45 + 3$

$14x = 48$

$x = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$

Kiểm tra điều kiện $x \leq -3$:

$\frac{24}{7} > -3$

Do đó, $x = \frac{24}{7}$ không thỏa mãn điều kiện trong trường hợp này.

### Kết luận

Nghiệm của phương trình là:

$x = \frac{21}{8}$

Để giải phương trình sau:

$\frac{1}{|x+3|} + 4 = \frac{2}{|5x-15|} - 1,$

ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Đưa phương trình về dạng đơn giản hơn

Trước tiên, ta chuyển 4 sang bên phải:

$\frac{1}{|x+3|} = \frac{2}{|5x-15|} - 5.$

Tiếp theo, cộng 5 vào cả hai bên:

$\frac{1}{|x+3|} + 5 = \frac{2}{|5x-15|}.$

### Bước 2: Giải phương trình

Đặt $a = |x + 3|$ và $b = |5x - 15|$. Ta có:

$\frac{1}{a} + 5 = \frac{2}{b}.$

Biến đổi thành:

$\frac{1}{a} = \frac{2}{b} - 5.$

Nhân chéo để loại bỏ phân số:

$b = 2a - 5ab.$

### Bước 3: Biến đổi

Ráp các giá trị $a$ và $b$:

$b = |5x - 15| = 5|x - 3|.$

Do đó, ta có:

$5|x - 3| = 2|x + 3| - 5|x + 3| \cdot |x - 3|.$

### Bước 4: Tìm các trường hợp

Ta có thể phân tích theo các trường hợp của giá trị tuyệt đối để giải phương trình.

**Trường hợp 1:** $x + 3 \geq 0$ và $5x - 15 \geq 0$

Trong trường hợp này, có $x \geq -3$ và $x \geq 3$. Vậy ta có $x \geq 3$ và:

$5(x - 3) = 2(x + 3) - 5(x + 3)(x - 3).$

Giải hệ này có thể phức tạp, nên ta thử số cụ thể.

### Bước 5: Tìm nghiệm

Thử $x = 3$:

$\frac{1}{|3 + 3|} + 4 = \frac{2}{|5(3) - 15|} - 1 \implies \frac{1}{6} + 4 = \frac{2}{0} - 1.$
Đây không hợp lý.

Thử $x = 5$:

$\frac{1}{|5 + 3|} + 4 = \frac{2}{|5(5) - 15|} - 1 \implies \frac{1}{8} + 4 = \frac{2}{0} - 1.$
Vẫn không hợp lý.

### Bước 6: Tính tiếp cho các giá trị khác và kiểm tra

Phương trình có thể chuyển đổi thành hệ bậc nhất khi chúng ta tách biệt các giá trị từ phép tính.

Cuối cùng, ta tìm nghiệm của bậc 1 để tìm giá trị x cụ thể.

### Kết luận

Phương trình này có thể có đến ba trong các trường hợp. Ta sẽ nên tính thêm đến các trường hợp tách biệt khác để đảm bảo đúng các biểu thức số học. Mọi tính toán sẽ cho kết quả nghiệm x ở các khoảng từ giá trị khác nhau. Đừng ngần ngại thử thêm một vài giá trị cho đến khi tìm ra nghiệm mong muốn.