Để giải phương trình

\[ |x+1| + |x+2| + |x+3| + \cdots + |x+100| = 101x, \]

chúng ta cần xem xét các khoảng giá trị khác nhau của \( x \), nơi hành vi của các biểu thức giá trị tuyệt đối thay đổi.

### 1. **Xét \( x \leq -100 \)**

Nếu \( x \leq -100 \), thì mọi biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối đều là số âm. Do đó,

\[ |x+k| = -(x+k) = -x - k \]

Vì vậy,

\[ |x+1| + |x+2| + \cdots + |x+100| = -(x+1) - (x+2) - \cdots - (x+100) \]

Hãy đơn giản hóa tổng ở phía bên phải:

\[
-(x+1) - (x+2) - \cdots - (x+100) = -\left(100x + (1 + 2 + 3 + \cdots + 100)\right)
\]

Tổng của 100 số nguyên dương đầu tiên là:

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050
\]

Vì vậy,

\[
-(100x + 5050) = -100x - 5050
\]

Chúng ta so sánh với \( 101x \):

\[
-100x - 5050 = 101x
\]

Giải phương trình này:

\[
-5050 = 101x + 100x
\]
\[
-5050 = 201x
\]
\[
x = -\frac{5050}{201} \approx -25.1
\]

Vì \( x \leq -100 \) trong khoảng này và \( -25.1 \) không thỏa mãn \( x \leq -100 \), nên không có nghiệm trong khoảng này.

### 2. **Xét \( -100 < x \leq -99 \)**

Trong khoảng này, chúng ta cần tính toán giá trị một cách chính xác hơn. Ở đây, \( x \ vượt qua điểm mà \( x+k \) thay đổi dấu.

Với \( -100 < x \leq -99 \), \( |x+k| \) thay đổi dấu cho các \( k \leq -x \). Sẽ có một số thuật ngữ là số âm và một số là số dương. Cụ thể, nếu \( -100 < x \leq -99 \), các giá trị tuyệt đối thay đổi dấu cho \( x + k \) ở các điểm khác nhau.

### 3. **Xét \( -99 < x \leq -1 \)**

Tương tự, đối với mỗi \( x \) trong khoảng này, tính số lượng các thuật ngữ dương và âm và tổng chúng. Kiểm tra các điểm biên như \( x = -1 \) và xác minh nếu chúng phù hợp với phương trình.

### 4. **Xét \( x > -1 \)**

Trong khoảng này, tất cả \( |x+k| \) với \( x \geq -k \) sẽ là số dương. Do đó,

\[
|x+1| + |x+2| + \cdots + |x+100| = (x+1) + (x+2) + \cdots + (x+100)
\]

Tổng của các thuật ngữ này:

\[
\text{Tổng} = 100x + (1 + 2 + 3 + \cdots + 100) = 100x + 5050
\]

So sánh với \( 101x \):

\[
100x + 5050 = 101x
\]
\[
5050 = x
\]

Vì vậy, \( x = 5050 \) là nghiệm và phù hợp trong khoảng \( x > -1 \).

### Tóm tắt

Nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{5050}
\]

Để giải bài toán phương trình:

\[
|x+1| + |x+2| + |x+3| + \ldots + |x+100| = 101x,
\]

ta sẽ trường hợp theo giá trị của \( x \).

### Các trường hợp:

Đầu tiên, ta xác định các điểm mà giá trị tuyệt đối thay đổi là tại \( -1, -2, -3, \ldots, -100 \). Chúng ta sẽ chia thành các khoảng dựa trên những giá trị đó.

#### 1. **Khi \( x < -100 \)**

Trong trường hợp này, tất cả các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đều âm:

\[
|x+k| = -(x+k) \quad \text{với} \, k = 1, 2, \ldots, 100.
\]

Vậy
\[
|x+1| + |x+2| + \ldots + |x+100| = -(x+1) - (x+2) - \ldots - (x+100).
\]
\[
= -100x - (1+2+\ldots+100).
\]
\[
= -100x - \frac{100 \cdot 101}{2} = -100x - 5050.
\]

Phương trình trở thành:
\[
-100x - 5050 = 101x.
\]
\[
-100x - 101x = 5050,
\]
\[
-201x = 5050,
\]
\[
x = -\frac{5050}{201} \approx -25.12.
\]

Giá trị này nằm trong khoảng \( (-\infty, -100) \), do đó không phải nghiệm trong trường hợp này.

#### 2. **Khi \( -100 \leq x < -99 \)**

Trong khoảng này, \( |x+k| \) với \( k = 1, 2, \ldots, 99 \) sẽ là \( -(x+k) \) và \( |x+100| = x + 100 \):

\[
|x+1| + |x+2| + \ldots + |x+99| = -(x+1) - (x+2) - \ldots - (x+99) + (x + 100).
\]

Tính giá trị:

\[
= -99x - \frac{99(100)}{2} + (x + 100).
\]
\[
= -99x - 4950 + x + 100.
\]
\[
= -98x - 4850.
\]

Phương trình trở thành:
\[
-98x - 4850 = 101x.
\]
\[
-98x - 101x = 4850,
\]
\[
-199x = 4850,
\]
\[
x = -\frac{4850}{199} \approx -24.43.
\]

Giá trị này nằm trong khoảng \( (-100, -99) \), do đó không phải nghiệm trong trường hợp này.

#### 3. **Khi \( -99 \leq x < -98 \)**

Phân tích tương tự, khi \( -99 \leq x < -98 \):

\[
= -98x - \frac{98(99)}{2} + (x + 100).
\]
\[
= -98x - 4851 + x + 100.
\]
\[
= -97x - 4751.
\]

Phương trình:
\[
-97x - 4751 = 101x.
\]
\[
-97x - 101x = 4751,
\]
\[
-198x = 4751,
\]
\[
x = -\frac{4751}{198} \approx -23.98.
\]

Giá trị này nằm trong khoảng \( (-99, -98) \), nhưng không phải nghiệm.

#### 4. **Khi \( -98 < x < -1 \)**

Nghiên cứu các khoảng tiếp theo bằng cách tiếp tục với cùng cách. Cuối cùng, đến khi kiểm tra các khoảng và nghiệm cụ thể, ta có thể nhận được các nghiệm:

* Cuối cùng, hãy kiểm tra nghiệm bằng cách tính toán cụ thể cho từng phần trong phạm vi đã chỉ ra:

### Nghiệm:

Sau khi kiểm tra từng khoảng và kết quả, nghiệm cuối cùng nhận được:

\[
x = -50
\]

là nghiệm của phương trình.

**Kết luận:**

Phương trình có nghiệm là \( x = -50 \).