Để xác định xem \(213\) có phải là số nguyên tố hay không, ta cần kiểm tra xem nó có chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào ngoài \(1\) và chính nó hay không.

**Các bước kiểm tra:**

1. **Xác định các số nguyên tố nhỏ hơn căn bậc hai của \(213\):**
- Căn bậc hai của \(213\) xấp xỉ \(14.6\), nên ta chỉ cần kiểm tra các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng \(14\): \(2, 3, 5, 7, 11, 13\).

2. **Kiểm tra chia hết:**

- **Chia hết cho \(2\):**
\(213\) là số lẻ, nên không chia hết cho \(2\).

- **Chia hết cho \(3\):**
Tổng các chữ số của \(213\) là \(2 + 1 + 3 = 6\), và \(6\) chia hết cho \(3\). Do đó, \(213\) chia hết cho \(3\).

Thực hiện phép chia:
\[
213 \div 3 = 71
\]

- **Chia hết cho \(5\):**
Số \(213\) không kết thúc bằng \(0\) hoặc \(5\), nên không chia hết cho \(5\).

- **Chia hết cho \(7\):**
Ta đã chia \(213\) cho \(3\) được \(71\), và \(71\) là số nguyên tố. Do đó, không cần kiểm tra \(71\) với các số nguyên tố nhỏ hơn \(14\) vì nó đã đủ điều kiện để xác định \(213\) không phải là số nguyên tố.

**Kết luận:**
Vì \(213\) chia hết cho \(3\) (với kết quả \(71\), một số nguyên tố), nên \(213\) là số hợp số, không phải là số nguyên tố.

Để xác định xem 213213 có phải là số nguyên tố hay không, ta cần kiểm tra xem nó có chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào ngoài 11 và chính nó hay không.

**Các bước kiểm tra:**

1. **Xác định các số nguyên tố nhỏ hơn căn bậc hai của 213213:**
- Căn bậc hai của 213213 xấp xỉ 14.614.6, nên ta chỉ cần kiểm tra các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 1414: 2,3,5,7,11,132,3,5,7,11,13.

2. **Kiểm tra chia hết:**

- **Chia hết cho 22:**
213213 là số lẻ, nên không chia hết cho 22.

- **Chia hết cho 33:**
Tổng các chữ số của 213213 là 2+1+3=62+1+3=6, và 66 chia hết cho 33. Do đó, 213213 chia hết cho 33.

Thực hiện phép chia:
213÷3=71213÷3=71

- **Chia hết cho 55:**
Số 213213 không kết thúc bằng 00 hoặc 55, nên không chia hết cho 55.

- **Chia hết cho 77:**
Ta đã chia 213213 cho 33 được 7171, và 7171 là số nguyên tố. Do đó, không cần kiểm tra 7171 với các số nguyên tố nhỏ hơn 1414 vì nó đã đủ điều kiện để xác định 213213 không phải là số nguyên tố.

**Kết luận:**
Vì 213213 chia hết cho 33 (với kết quả 7171, một số nguyên tố), nên 213213 là số hợp số, không phải là số nguyên tố.