a) Chứng minh: Góc BAH nhỏ hơn góc HAC

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn và AB < AC, nên góc BAC là góc nhọn. Đường cao AH vuông góc với BC, chia góc BAC thành hai góc BAH và HAC. Do đó, góc BAH và góc HAC đều là góc nhọn. Vì AB < AC, nên góc đối diện với cạnh nhỏ hơn sẽ lớn hơn, tức là góc BAH < góc HAC.

b) Trên cạnh HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Chứng minh: tam giác ABD cân

Vì HD = HB và H là chân đường cao từ A, nên tam giác HBD là tam giác cân tại H. Do đó, góc BHD = góc BHD. Vì tam giác HBD cân tại H, nên góc BHD = góc BHD. Do đó, tam giác ABD cân tại B.

c) Từ A kẻ DE vuông góc với AC, từ C kẻ CF vuông góc với AD. Chứng minh: 3 đường thẳng AH, DE, DF đồng quy

Để chứng minh 3 đường thẳng AH, DE, DF đồng quy, ta cần chứng minh rằng chúng cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm giao của DE và DF là G. Ta có:

DE vuông góc với AC tại E
DF vuông góc với AD tại F
Do đó, G là trực tâm của tam giác ACF. Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cũng đi qua trực tâm của tam giác ACF. Do đó, 3 đường thẳng AH, DE, DF đồng quy tại G.

a, Chứng minh: Góc BAH nhỏ hơn góc HAC

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn và AB < AC, nên góc BAC là góc nhọn. Đường cao AH vuông góc với BC, chia góc BAC thành hai góc BAH và HAC. Do đó, góc BAH và góc HAC đều là góc nhọn. Vì AB < AC, nên góc đối diện với cạnh nhỏ hơn sẽ lớn hơn, tức là góc BAH < góc HAC.

b, Trên cạnh HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Chứng minh: tam giác ABD cân

Vì HD = HB và H là chân đường cao từ A, nên tam giác HBD là tam giác cân tại H. Do đó, góc BHD = góc BHD. Vì tam giác HBD cân tại H, nên góc BHD = góc BHD. Do đó, tam giác ABD cân tại B.

c, Từ A kẻ DE vuông góc với AC, từ C kẻ CF vuông góc với AD. Chứng minh: 3 đường thẳng AH, DE, DF đồng quy

Để chứng minh 3 đường thẳng AH, DE, DF đồng quy, ta cần chứng minh rằng chúng cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm giao của DE và DF là G. Ta có:

DE vuông góc với AC tại E
DF vuông góc với AD tại F
Do đó, G là trực tâm của tam giác ACF. Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cũng đi qua trực tâm của tam giác ACF. Do đó, 3 đường thẳng AH, DE, DF đồng quy tại G.