Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh \( 11,25^n + 10,4^n \) chia hết cho 21 với mọi \( n \), ta cần chứng minh rằng tổng này chia hết cho 21, tức là:

\[
11,25^n + 10,4^n \equiv 0 \pmod{21}
\]

Ta có thể đơn giản hóa vấn đề này bằng cách xét các số dưới modulo 21.

### 1. Xét \( 11,25^n \) mod 21
Ta có:
\[
11,25 \equiv 11 \cdot 4 \equiv 44 \equiv 2 \pmod{21}
\]
Do đó:
\[
11,25^n \equiv 2^n \pmod{21}
\]

### 2. Xét \( 10,4^n \) mod 21
Ta có:
\[
10,4 \equiv 10 \cdot 4 \equiv 40 \equiv 19 \pmod{21}
\]
Do đó:
\[
10,4^n \equiv 19^n \pmod{21}
\]

Vậy ta cần chứng minh:
\[
2^n + 19^n \equiv 0 \pmod{21}
\]

### 3. Chứng minh \( 2^n + 19^n \equiv 0 \pmod{21} \)
Nhận thấy rằng:
\[
19 \equiv -2 \pmod{21}
\]
Nên:
\[
19^n \equiv (-2)^n \equiv (-1)^n \cdot 2^n \pmod{21}
\]

Do đó:
\[
2^n + 19^n \equiv 2^n + (-1)^n \cdot 2^n \equiv 2^n(1 + (-1)^n) \pmod{21}
\]

### 4. Xét các trường hợp của \( n \)
- Nếu \( n \) là số chẵn (\( n = 2k \)):
\[
(-1)^n = (-1)^{2k} = 1
\]
Khi đó:
\[
2^n(1 + 1) = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} \pmod{21}
\]

Do \( 2^n \) luôn là một số chẵn, nên \( 2^{n+1} \) sẽ chia hết cho 21.

- Nếu \( n \) là số lẻ (\( n = 2k+1 \)):
\[
(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1
\]
Khi đó:
\[
2^n(1 - 1) = 2^n \cdot 0 \equiv 0 \pmod{21}
\]

Vậy trong cả hai trường hợp, \( 2^n + 19^n \) luôn chia hết cho 21.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng \( 11,25^n + 10,4^n \) chia hết cho 21 với mọi \( n \).

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh \( 11,25^n + 10,4^n \) chia hết cho 21 với mọi \( n \), ta cần chứng minh rằng tổng này chia hết cho 21, tức là:

\[
11,25^n + 10,4^n \equiv 0 \pmod{21}
\]

Ta có thể đơn giản hóa vấn đề này bằng cách xét các số dưới modulo 21.

### 1. Xét \( 11,25^n \) mod 21
Ta có:
\[
11,25 \equiv 11 \cdot 4 \equiv 44 \equiv 2 \pmod{21}
\]
Do đó:
\[
11,25^n \equiv 2^n \pmod{21}
\]

### 2. Xét \( 10,4^n \) mod 21
Ta có:
\[
10,4 \equiv 10 \cdot 4 \equiv 40 \equiv 19 \pmod{21}
\]
Do đó:
\[
10,4^n \equiv 19^n \pmod{21}
\]

Vậy ta cần chứng minh:
\[
2^n + 19^n \equiv 0 \pmod{21}
\]

### 3. Chứng minh \( 2^n + 19^n \equiv 0 \pmod{21} \)
Nhận thấy rằng:
\[
19 \equiv -2 \pmod{21}
\]
Nên:
\[
19^n \equiv (-2)^n \equiv (-1)^n \cdot 2^n \pmod{21}
\]

Do đó:
\[
2^n + 19^n \equiv 2^n + (-1)^n \cdot 2^n \equiv 2^n(1 + (-1)^n) \pmod{21}
\]

### 4. Xét các trường hợp của \( n \)
- Nếu \( n \) là số chẵn (\( n = 2k \)):
\[
(-1)^n = (-1)^{2k} = 1
\]
Khi đó:
\[
2^n(1 + 1) = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} \pmod{21}
\]

Do \( 2^n \) luôn là một số chẵn, nên \( 2^{n+1} \) sẽ chia hết cho 21.

- Nếu \( n \) là số lẻ (\( n = 2k+1 \)):
\[
(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1
\]
Khi đó:
\[
2^n(1 - 1) = 2^n \cdot 0 \equiv 0 \pmod{21}
\]

Vậy trong cả hai trường hợp, \( 2^n + 19^n \) luôn chia hết cho 21.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng \( 11,25^n + 10,4^n \) chia hết cho 21 với mọi \( n \).

Answer 3

Vậy ta cần chứng minh:
2n+19n≡0(mod21)2n+19n≡0(mod21)

### 3. Chứng minh 2n+19n≡0(mod21)2n+19n≡0(mod21)
Nhận thấy rằng:
19≡−2(mod21)19≡−2(mod21)
Nên:
19n≡(−2)n≡(−1)n⋅2n(mod21)19n≡(−2)n≡(−1)n⋅2n(mod21)

Do đó:
2n+19n≡2n+(−1)n⋅2n≡2n(1+(−1)n)(mod21)2n+19n≡2n+(−1)n⋅2n≡2n(1+(−1)n)(mod21)

### 4. Xét các trường hợp của nn
- Nếu nn là số chẵn (n=2kn=2k):
(−1)n=(−1)2k=1(−1)n=(−1)2k=1
Khi đó:
2n(1+1)=2⋅2n=2n+1(mod21)2n(1+1)=2⋅2n=2n+1(mod21)

Do 2n2n luôn là một số chẵn, nên 2n+12n+1 sẽ chia hết cho 21.

- Nếu nn là số lẻ (n=2k+1n=2k+1):
(−1)n=(−1)2k+1=−1(−1)n=(−1)2k+1=−1
Khi đó:
2n(1−1)=2n⋅0≡0(mod21)2n(1−1)=2n⋅0≡0(mod21)

Vậy trong cả hai trường hợp, 2n+19n2n+19n luôn chia hết cho 21.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng 11,25n+10,4n11,25n+10,4n chia hết cho 21 với mọi nn.

2 câu trả lời 234

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8