Để giải bài toán này, ta sẽ thiết lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

**A. Tính diện tích mảnh vườn**

Gọi diện tích mảnh vườn là \( S \).

1. **Diện tích trồng cây ăn quả:**
Diện tích trồng cây ăn quả là \(\frac{1}{5}\) của diện tích mảnh vườn, tức là:
\[
A_{cay\_an\_qua} = \frac{1}{5} S
\]

2. **Diện tích trồng rau:**
Diện tích trồng rau bằng \(\frac{5}{4}\) diện tích trồng cây ăn quả, tức là:
\[
A_{rau} = \frac{5}{4} \times \frac{1}{5} S = \frac{1}{4} S
\]

3. **Diện tích trồng hoa:**
Diện tích trồng hoa bằng \(\frac{2}{3}\) tổng diện tích trồng cây ăn quả và trồng rau. Ta có:
\[
A_{hoa} = \frac{2}{3} \left( A_{cay\_an\_qua} + A_{rau} \right)
\]
Thay các giá trị vào:
\[
A_{hoa} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{5} S + \frac{1}{4} S \right)
\]
Tính tổng diện tích trồng cây ăn quả và trồng rau:
\[
\frac{1}{5} S + \frac{1}{4} S = \frac{4}{20} S + \frac{5}{20} S = \frac{9}{20} S
\]
Do đó:
\[
A_{hoa} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{20} S = \frac{18}{60} S = \frac{3}{10} S
\]

4. **Diện tích ươm cây:**
Tổng diện tích đã sử dụng là diện tích trồng cây ăn quả, trồng rau và trồng hoa. Còn lại 20 m² dùng để ươm cây:
\[
A_{cay\_an\_qua} + A_{rau} + A_{hoa} + 20 = S
\]
Thay các giá trị vào:
\[
\frac{1}{5} S + \frac{1}{4} S + \frac{3}{10} S + 20 = S
\]
Tìm tổng diện tích trồng cây ăn quả, trồng rau và trồng hoa:
\[
\frac{1}{5} S + \frac{1}{4} S + \frac{3}{10} S = \frac{4}{20} S + \frac{5}{20} S + \frac{6}{20} S = \frac{15}{20} S = \frac{3}{4} S
\]
Do đó:
\[
\frac{3}{4} S + 20 = S
\]
Giải phương trình:
\[
20 = S - \frac{3}{4} S = \frac{1}{4} S
\]
\[
S = 20 \times 4 = 80
\]

**Diện tích mảnh vườn là 80 m².**

**B. Tính diện tích trồng cây mỗi loại**

1. **Diện tích trồng cây ăn quả:**
\[
A_{cay\_an\_qua} = \frac{1}{5} \times 80 = 16 \text{ m²}
\]

2. **Diện tích trồng rau:**
\[
A_{rau} = \frac{1}{4} \times 80 = 20 \text{ m²}
\]

3. **Diện tích trồng hoa:**
\[
A_{hoa} = \frac{3}{10} \times 80 = 24 \text{ m²}
\]

**Tóm lại:**
- Diện tích mảnh vườn: 80 m²
- Diện tích trồng cây ăn quả: 16 m²
- Diện tích trồng rau: 20 m²
- Diện tích trồng hoa: 24 m²

Để giải bài toán này, ta sẽ đặt biến để đại diện cho diện tích của từng loại cây trồng và tính diện tích của mảnh vườn.

**Bước 1: Đặt biến và thiết lập các phương trình**

1. **Gọi tổng diện tích của mảnh vườn là \( x \).**

2. **Diện tích trồng cây ăn quả là \( \frac{1}{5}x \).**

3. **Diện tích trồng rau là \( \frac{5}{4} \) của diện tích trồng cây ăn quả.**
\[
\text{Diện tích trồng rau} = \frac{5}{4} \times \frac{1}{5}x = \frac{1}{4}x
\]

4. **Diện tích trồng hoa bằng \( \frac{2}{3} \) tổng diện tích của trồng cây ăn quả và trồng rau.**
\[
\text{Diện tích trồng hoa} = \frac{2}{3} \left(\frac{1}{5}x + \frac{1}{4}x\right)
\]
\[
\frac{1}{5}x + \frac{1}{4}x = \frac{4}{20}x + \frac{5}{20}x = \frac{9}{20}x
\]
\[
\text{Diện tích trồng hoa} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{20}x = \frac{18}{60}x = \frac{3}{10}x
\]

5. **Diện tích còn lại để ươm cây là 20 m².**

Tổng diện tích mảnh vườn \( x \) được phân chia như sau:
\[
\text{Diện tích trồng cây ăn quả} + \text{Diện tích trồng rau} + \text{Diện tích trồng hoa} + 20 = x
\]
\[
\frac{1}{5}x + \frac{1}{4}x + \frac{3}{10}x + 20 = x
\]
\[
\text{Tìm mẫu số chung của các phân số: 20}
\]
\[
\frac{1}{5}x = \frac{4}{20}x, \quad \frac{1}{4}x = \frac{5}{20}x, \quad \frac{3}{10}x = \frac{6}{20}x
\]
\[
\frac{4}{20}x + \frac{5}{20}x + \frac{6}{20}x + 20 = x
\]
\[
\frac{15}{20}x + 20 = x
\]
\[
\frac{3}{20}x = 20
\]
\[
x = 20 \times \frac{20}{3} = \frac{400}{3} \approx 133.33 \text{ m²}
\]

**Bước 2: Tính diện tích trồng từng loại**

1. **Diện tích trồng cây ăn quả:**
\[
\frac{1}{5}x = \frac{1}{5} \times \frac{400}{3} = \frac{400}{15} \approx 26.67 \text{ m²}
\]

2. **Diện tích trồng rau:**
\[
\frac{1}{4}x = \frac{1}{4} \times \frac{400}{3} = \frac{400}{12} \approx 33.33 \text{ m²}
\]

3. **Diện tích trồng hoa:**
\[
\frac{3}{10}x = \frac{3}{10} \times \frac{400}{3} = \frac{400}{10} = 40 \text{ m²}
\]

**Kết quả:**

A. Tổng diện tích mảnh vườn là \( \frac{400}{3} \approx 133.33 \text{ m²} \).

B. Diện tích trồng từng loại:
- Cây ăn quả: khoảng 26.67 m²
- Rau: khoảng 33.33 m²
- Hoa: 40 m²
- Diện tích ươm cây: 20 m²