Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các thông tin đã cho và các công thức cơ bản về hình học.

**Bước 1: Xác định chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu**
Đề bài cho biết hình chữ nhật ban đầu có chu vi là 200m. Gọi chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là \( L \) và chiều rộng là \( W \). Theo công thức chu vi của hình chữ nhật:
\[ 2(L + W) = 200 \]
\[ L + W = 100 \] \(\quad\) (1)

**Bước 2: Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật mới**
Sau khi mở rộng, chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật mới lần lượt là \( L + 10 \) và \( W + 20 \). Theo đề bài, chiều rộng mới bằng \( \frac{5}{8} \) chiều dài mới:
\[ W + 20 = \frac{5}{8}(L + 10) \] \(\quad\) (2)

**Bước 3: Giải hệ phương trình**
Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm \( L \) và \( W \):

Từ (1):
\[ L = 100 - W \]

Thay vào (2):
\[ W + 20 = \frac{5}{8}(100 - W + 10) \]
\[ W + 20 = \frac{5}{8}(110 - W) \]
\[ 8(W + 20) = 5(110 - W) \]
\[ 8W + 160 = 550 - 5W \]
\[ 8W + 5W = 550 - 160 \]
\[ 13W = 390 \]
\[ W = \frac{390}{13} \]
\[ W = 30 \]

Từ đó, tính \( L \):
\[ L = 100 - W = 100 - 30 = 70 \]

**Bước 4: Tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật mới**
- Chu vi của hình chữ nhật mới:
\[ \text{Chu vi} = 2(L + 10 + W + 20) = 2(70 + 10 + 30 + 20) = 2 \times 130 = 260 \] mét.

- Diện tích của hình chữ nhật mới:
\[ \text{Diện tích} = (L + 10)(W + 20) = (70 + 10)(30 + 20) = 80 \times 50 = 4000 \] mét vuông.

**Kết luận:**
A. Chu vi của hình chữ nhật mới là 260 mét.
B. Diện tích của hình chữ nhật mới là 4000 mét vuông.