Để giải bài toán này, ta sẽ tính theo các bước sau:

### Bước 1: Tính tốc độ chảy nước của từng vòi

1. **Tốc độ của vòi thứ nhất:**

Vòi thứ nhất chảy đầy hồ trong 5 giờ, vậy mỗi giờ vòi này chảy được \(\frac{1}{5}\) hồ.

2. **Tốc độ của vòi thứ hai:**

Vòi thứ hai chảy đầy hồ trong 3 giờ, vậy mỗi giờ vòi này chảy được \(\frac{1}{3}\) hồ.

### Bước 2: Tính lượng nước chảy vào hồ trong 2 giờ chỉ có vòi thứ nhất

Trong 2 giờ, vòi thứ nhất sẽ chảy vào hồ:

\[
2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}
\]

Vậy sau 2 giờ, hồ đã đầy được \(\frac{2}{5}\) hồ.

### Bước 3: Tính phần còn lại của hồ khi vòi thứ hai bắt đầu chảy

Phần hồ còn lại sau 2 giờ là:

\[
1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
\]

### Bước 4: Tính tốc độ chảy khi cả hai vòi cùng hoạt động

Khi cả hai vòi cùng hoạt động, mỗi giờ chúng chảy được:

\[
\frac{1}{5} + \frac{1}{3}
\]

Tìm mẫu số chung là 15:

\[
\frac{1}{5} = \frac{3}{15}
\]

\[
\frac{1}{3} = \frac{5}{15}
\]

Vậy tổng tốc độ là:

\[
\frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}
\]

### Bước 5: Tính thời gian cần để làm đầy phần còn lại của hồ

Phần hồ còn lại là \(\frac{3}{5}\). Thời gian cần để làm đầy phần này với tốc độ \(\frac{8}{15}\) hồ mỗi giờ là:

\[
\text{Thời gian} = \frac{\text{Phần còn lại}}{\text{Tốc độ}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{8}{15}}
\]

Chia phân số:

\[
\frac{\frac{3}{5}}{\frac{8}{15}} = \frac{3}{5} \times \frac{15}{8} = \frac{3 \times 15}{5 \times 8} = \frac{45}{40} = 1.125 \text{ giờ}
\]

### Kết luận

Vậy, từ khi vòi thứ hai bắt đầu chảy, hồ sẽ đầy trong 1.125 giờ (1 giờ 7.5 phút). Tính từ lúc vòi thứ nhất bắt đầu chảy, tổng thời gian để hồ đầy là:

\[
2 \text{ giờ} + 1.125 \text{ giờ} = 3.125 \text{ giờ}
\]

Vậy hồ sẽ đầy trong 3 giờ 7.5 phút kể từ khi vòi thứ nhất bắt đầu chảy.

### Bài 2A

**Đề bài**: Cho hình bình hành \(ABCD\). Hạ \(AH\) và \(CK\) vuông góc với \(BD\) (H, K thuộc \(BD\)). Chứng minh tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành.

**Lời giải**:

1. Ta có \(ABCD\) là hình bình hành, nên \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).

2. Hạ \(AH \perp BD\) tại \(H\) và \(CK \perp BD\) tại \(K\).

3. Do \(AH \perp BD\) và \(CK \perp BD\), nên \(AH \parallel CK\) (vì cùng vuông góc với \(BD\)).

4. Xét tứ giác \(AHCK\):
- \(AH \parallel CK\) (đã chứng minh ở trên).
- \(AK \parallel CH\) (vì cùng vuông góc với \(BD\)).

5. Tứ giác \(AHCK\) có hai cặp cạnh đối song song.

**Kết luận**: Tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành.

### Bài 2B

**Đề bài**: Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Qua điểm \(O\) vẽ một đường thẳng \(m\) cắt các đường thẳng \(AD\), \(BC\) lần lượt tại \(E, F\). Qua điểm \(O\) vẽ một đường thẳng \(n\) cắt các cạnh \(AB\), \(CD\) lần lượt tại \(K, H\). Chứng minh \(EKFH\) là hình bình hành.

**Lời giải**:

1. Ta có \(ABCD\) là hình bình hành, nên \(AC\) và \(BD\) là các đường chéo cắt nhau tại \(O\).

2. Đường thẳng \(m\) qua \(O\) cắt \(AD\) tại \(E\) và \(BC\) tại \(F\).

3. Đường thẳng \(n\) qua \(O\) cắt \(AB\) tại \(K\) và \(CD\) tại \(H\).

4. Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) (giao điểm của các đường chéo trong hình bình hành), ta có:
- \(OE = OF\) (vì \(O\) là trung điểm của \(EF\))
- \(OK = OH\) (vì \(O\) là trung điểm của \(KH\))

5. Do đó, \(EK \parallel HF\) và \(EF \parallel KH\) vì chúng đều cắt nhau tại điểm \(O\).

**Kết luận**: Tứ giác \(EKFH\) là hình bình hành.