Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức liên quan đến áp suất, nhiệt độ và khối lượng trong một xi lanh. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

### 1. **Tính áp suất mới trong xi lanh**

Khi đặt thêm gia trọng lên pittông, áp suất trong xi lanh sẽ tăng.

- Khối lượng gia trọng: \( m = 500 \text{ g} = 0,5 \text{ kg} \)
- Diện tích pittông: \( A = 10 \text{ cm}^2 = 10 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 0,001 \text{ m}^2 \)
- Gia tốc trọng trường: \( g = 10 \text{ m/s}^2 \)

Áp suất tạo ra bởi gia trọng:

\[
p_{\text{thêm}} = \frac{m \cdot g}{A}
\]

\[
p_{\text{thêm}} = \frac{0,5 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2}{0,001 \text{ m}^2} = 5000 \text{ Pa}
\]

Tổng áp suất trong xi lanh sau khi đặt gia trọng:

\[
p_{\text{mới}} = p_{\text{cũ}} + p_{\text{thêm}}
\]

\[
p_{\text{mới}} = 10^5 \text{ Pa} + 5000 \text{ Pa} = 105000 \text{ Pa}
\]

### 2. **Sử dụng phương trình khí lý tưởng**

Khi thể tích khí không thay đổi, ta sử dụng phương trình khí lý tưởng để tính mối quan hệ giữa nhiệt độ cũ và mới.

Phương trình khí lý tưởng là:

\[
\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}
\]

Trong đó:
- \( p_1 \) và \( T_1 \) là áp suất và nhiệt độ ban đầu.
- \( p_2 \) và \( T_2 \) là áp suất và nhiệt độ mới.

Biết rằng:
- \( p_1 = 10^5 \text{ Pa} \)
- \( T_1 = 0^\circ \text{C} = 273 \text{ K} \)
- \( p_2 = 105000 \text{ Pa} \)

Tính \( T_2 \):

\[
\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}
\]

\[
\frac{10^5 \text{ Pa}}{273 \text{ K}} = \frac{105000 \text{ Pa}}{T_2}
\]

Giải phương trình để tìm \( T_2 \):

\[
T_2 = \frac{105000 \text{ Pa} \times 273 \text{ K}}{10^5 \text{ Pa}}
\]

\[
T_2 = \frac{28665000}{100000} = 286.65 \text{ K}
\]

### 3. **Tính sự gia tăng nhiệt độ**

Nhiệt độ mới \( T_2 \) là \( 286.65 \text{ K} \). Để tính sự gia tăng nhiệt độ, ta lấy nhiệt độ mới trừ đi nhiệt độ ban đầu:

\[
\Delta T = T_2 - T_1
\]

\[
\Delta T = 286.65 \text{ K} - 273 \text{ K} = 13.65 \text{ K}
\]

### Kết luận

Để giữ thể tích không đổi, nhiệt độ của chất khí trong xi lanh phải tăng thêm \( 13.65 \text{ K} \), tức là khoảng \( 13.65 \text{ °C} \).

Để tính toán nhiệt độ cần thiết để giữ thể tích khí trong xi lanh không đổi khi áp suất thay đổi, ta sẽ sử dụng định luật Gay-Lussac, cho rằng thể tích khí trong xi lanh vẫn giữ nguyên.

Bước 1: Tính áp suất mới của khí trong xi lanh sau khi đặt thêm gia trọng.

- Áp suất khí quyển: \( p_0 = 10^5 \, \text{Pa} \)
- Khối lượng gia trọng: \( m = 500 \, \text{g} = 0.5 \, \text{kg} \)
- Lực do gia trọng tác dụng lên pit-tông:
\[
F = m \cdot g = 0.5 \cdot 10 = 5 \, \text{N}
\]

- Tiết diện pit-tông:
\[
S = 10 \, \text{cm}^2 = 10 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 = 10^{-3} \, \text{m}^2
\]

- Áp suất do gia trọng tác dụng lên pit-tông:
\[
p_{add} = \frac{F}{S} = \frac{5}{10^{-3}} = 5000 \, \text{Pa}
\]

- Áp suất khí trong xi lanh sau khi thêm gia trọng:
\[
p_{new} = p_{initial} + p_{add} = 10^5 + 5000 = 105000 \, \text{Pa}
\]

Bước 2: Sử dụng định luật Gay-Lussac để tìm nhiệt độ mới.

Theo định luật Gay-Lussac:

\[
\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}
\]

Trong đó:
- \( p_1 = 10^5 \, \text{Pa} \)
- \( T_1 = 0 \, \text{°C} = 273 \, \text{K} \)
- \( p_2 = 105000 \, \text{Pa} \)
- \( T_2 \) là nhiệt độ cần tìm.

Thay vào công thức:

\[
\frac{10^5}{273} = \frac{105000}{T_2}
\]

Giải phương trình để tìm \( T_2 \):

\[
T_2 = \frac{105000 \cdot 273}{10^5} = \frac{105000 \cdot 273}{100000} = 286.65 \, \text{K}
\]

Chuyển đổi về độ Celsius:

\[
T_2 = 286.65 - 273 = 13.65 \, \text{°C}
\]

### Kết quả:
Nhiệt độ của khí trong xi lanh cần phải tăng lên khoảng **13.65 °C** để giữ thể tích không đổi khi gia tăng áp suất.