Để giải phương trình sau:

\[ \frac{x + 1}{10} + \frac{x + 1}{11} + \frac{x + 1}{12} = \frac{x + 1}{13} + \frac{x + 1}{14} \]

ta có thể làm như sau:

1. **Nhóm các hạng tử giống nhau**:

Nhóm các hạng tử với \((x + 1)\) vào một bên:

\[ \frac{x + 1}{10} + \frac{x + 1}{11} + \frac{x + 1}{12} - \frac{x + 1}{13} - \frac{x + 1}{14} = 0 \]

2. **Rút gọn**:

Ta có thể viết:

\[ (x + 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} - \frac{1}{14} \right) = 0 \]

Để phương trình này đúng, \(x + 1\) phải bằng 0, hoặc phần trong dấu ngoặc phải bằng 0.

3. **Tính toán phần trong dấu ngoặc**:

Tính tổng các phân số:

\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} - \frac{1}{14}
\]

Để tính giá trị này, ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm tính toán để tìm kết quả gần đúng. Sau khi tính toán, ta thấy:

\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} \approx 0.099 + 0.0909 + 0.0833 = 0.2732
\]

\[
\frac{1}{13} + \frac{1}{14} \approx 0.0769 + 0.0714 = 0.1483
\]

\[
0.2732 - 0.1483 = 0.1249
\]

Giá trị không bằng 0, do đó phần trong dấu ngoặc không bằng 0.

4. **Kết luận**:

Vì phần trong dấu ngoặc không bằng 0, điều này có nghĩa là:

\[
x + 1 = 0
\]

Vậy giá trị của \(x\) là:

\[
x = -1
\]

Để giải phương trình

\[
\frac{x + 1}{10} + \frac{x + 1}{11} + \frac{x + 1}{12} = \frac{x + 1}{13} + \frac{x + 1}{14}
\]

ta có thể đưa các phần tử về cùng một phía:

\[
\frac{x + 1}{10} + \frac{x + 1}{11} + \frac{x + 1}{12} - \frac{x + 1}{13} - \frac{x + 1}{14} = 0
\]

Sau đó, chúng ta có thể nhóm các phần vào lại:

\[
(x + 1) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} - \frac{1}{14} \right) = 0
\]

Vì \( (x + 1) = 0 \) sẽ cho ra một nghiệm, ta sẽ kiểm tra nếu \((x + 1) = 0\):

Giải phương trình:

\[
x + 1 = 0 \implies x = -1
\]

Vậy một nghiệm là \( x = -1 \).

Tiếp theo, để tìm các giá trị của \( x \) khác, ta cần giải phần còn lại:

\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} - \frac{1}{14} = 0
\]

Tính từng phần:

- Tính tổng \( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} \):
\[
\frac{1}{10} = 0.1, \quad \frac{1}{11} \approx 0.0909, \quad \frac{1}{12} \approx 0.0833
\]
\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} \approx 0.1 + 0.0909 + 0.0833 \approx 0.2742
\]

- Tính tổng \( \frac{1}{13} + \frac{1}{14} \):
\[
\frac{1}{13} \approx 0.0769, \quad \frac{1}{14} \approx 0.0714
\]
\[
\frac{1}{13} + \frac{1}{14} \approx 0.0769 + 0.0714 \approx 0.1483
\]

So sánh:
\[
0.2742 - 0.1483 \approx 0.1259 \neq 0
\]

Do đó, \( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} - \frac{1}{14} \neq 0 \). Vậy hệ số \( (x + 1) \) không có nghiệm nào khác.

Kết luận: nghiệm duy nhất của phương trình là

\[
\boxed{-1}
\]