Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần tìm giá trị của \(a\) dựa trên điều kiện \( \tan a = -2 \) và \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \).

1. **Tìm giá trị của \(a\)**:
\[
\tan a = -2 \quad \text{và} \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi
\]
Điều này cho thấy \(a\) nằm trong góc phần tư thứ hai, nơi mà giá trị của \( \tan a \) là âm.

2. **Tính \(\sin a\) và \(\cos a\)**:
Sử dụng \( \tan a = -2 \), ta có thể sử dụng các công thức lượng giác để tìm:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = -2
\]
Đặt \(\sin a = y\) và \(\cos a = x\), ta có:
\[
\frac{y}{x} = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x
\]
Vì \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):
\[
y^2 + x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (-2x)^2 + x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 + x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
Với \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \), \( \cos a \) âm và \( \sin a \) dương:
\[
\cos a = -\frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{và} \quad \sin a = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

3. **Tính \(\cos 2a\)**:
\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2 - \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2 = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}
\]

4. **Tính \(\sin 2a\)**:
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) = -\frac{4}{5}
\]

5. **Tính \(\sin (2a + \frac{3\pi}{4})\)**:
Sử dụng công thức cộng góc:
\[
\sin \left( 2a + \frac{3\pi}{4} \right) = \sin 2a \cos \frac{3\pi}{4} + \cos 2a \sin \frac{3\pi}{4}
\]
\[
\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{và} \quad \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\sin \left( 2a + \frac{3\pi}{4} \right) = \left( -\frac{4}{5} \right) \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( -\frac{3}{5} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{4}{5\sqrt{2}} - \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}
\]

6. **Tính \(\cos 4a\)**:
\[
\cos 4a = 2 \cos^2 2a - 1 = 2 \left( -\frac{3}{5} \right)^2 - 1 = 2 \left( \frac{9}{25} \right) - 1 = \frac{18}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25}
\]

Kết quả cuối cùng:
\[
\sin a = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]
\[
\cos 2a = -\frac{3}{5}
\]
\[
\sin \left( 2a + \frac{3\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{10}
\]
\[
\cos 4a = -\frac{7}{25}
\]