Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định góc \( \angle OAN \):**

- **Cho**: \( \angle xOy = 60^\circ \).
- **Dựng**: \( AN \parallel Oy \) và \( AN \) nằm trong góc \( xOy \).
- **Phân giác**: \( Ot \) là phân giác của góc \( xOy \), và \( AM \) là phân giác của góc \( xAN \).

Ta cần tìm \( \angle OAN \) và chứng minh \( Ot \parallel AM \).

### 1. Xác định \( \angle OAN \):

- Vì \( AN \parallel Oy \) và \( AN \) nằm trong góc \( xOy \), góc \( xAN \) là góc bên trong của góc \( xOy \).
- Khi \( AN \parallel Oy \), góc \( xAN \) là góc bổ sung của góc \( xOy \), tức là góc bên ngoài của góc \( xAN \) là góc bổ sung của góc \( xOy \). Do đó, góc \( xAN \) là phần còn lại của góc \( xOy \), nên:
\[
\angle xAN = 180^\circ - \angle xOy = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
\]
- Vì \( AM \) là phân giác của góc \( xAN \), ta có:
\[
\angle xAM = \frac{1}{2} \angle xAN = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
\]

- Góc \( \angle OAN \) là góc ngoài của góc \( xAN \), vì vậy:
\[
\angle OAN = 180^\circ - \angle xAM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
\]

### 2. Chứng minh \( Ot \parallel AM \):

- Phân giác \( Ot \) của góc \( xOy \) chia góc \( xOy \) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle xOt = \frac{1}{2} \angle xOy = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
\]
- Phân giác \( AM \) của góc \( xAN \) chia góc \( xAN \) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle xAM = \frac{1}{2} \angle xAN = 60^\circ
\]
- Do đó, phân giác của góc \( xAN \) là \( AM \) chia góc \( xAN \) thành hai góc 60°, và góc \( \angle xAM \) bằng góc \( \angle xOt \).

Tóm lại, vì:
\[
\angle xOt = \angle xAM = 30^\circ
\]
và phân giác của góc \( xAN \) và góc \( xOy \) cắt nhau ở cùng một góc, ta có:
\[
Ot \parallel AM
\]

**Kết luận:**

- \( \angle OAN = 120^\circ \).
- \( Ot \parallel AM \) vì hai phân giác \( Ot \) và \( AM \) chia các góc \( xOy \) và \( xAN \) thành các phần bằng nhau.

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần.

### a. Tính góc \( OAN \)

1. **Góc \( xOy = 60^\circ \)**: Được cho là góc giữa trục hoành (Ox) và trục tung (Oy).

2. **Dựng AN // Oy**: Vì AN song song với Oy, nghĩa là góc \( OAN \) sẽ là góc giữa trục Ox và đường thẳng AN.

3. **Tính góc \( OAN \)**:
- Vì AN song song với Oy, góc giữa AN và trục Oy là \( 0^\circ \).
- Sử dụng quy tắc góc phụ: Góc \( OAN \) sẽ bằng \( 90^\circ - 60^\circ \).
- Vậy:
\[
OAN = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
\]

### b. Chứng minh Ot // AM

- **Đặt các thông số**:
- \( O \) là điểm gốc tọa độ,
- \( A \) là một điểm trên Ox,
- \( N \) là điểm trên AN, do đó AN // Oy,
- \( Ot \) là phân giác của góc \( xOy \),
- \( AM \) là phân giác của góc \( xAN \).

#### Tính góc \( Ot \):

- Góc \( Ot \) chia góc \( xOy = 60^\circ \) thành hai góc bằng nhau:
\[
Ot = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
\]

#### Tính góc \( xAN \):

- Vì AN // Oy và OAN = 30° nên \( xAN = 90^\circ - OAN \):
\[
xAN = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
\]

Sau đó, góc AM (phân giác của \( xAN \)) sẽ là:
\[
AM = \frac{xAN}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
\]

### Kết nối giữa Ot và AM:

- **So sánh góc Ot và AM**:
- \( Ot = 30^\circ \)
- \( AM = 30^\circ \)

- **Kết luận**:
- Vì \( Ot \) và \( AM \) cùng có giá trị bằng \( 30^\circ \), thực tế là cùng hướng.
- Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
Ot // AM
\]

### Kết luận:

- Góc \( OAN = 30^\circ \).
- Chứng minh rằng \( Ot \) song song với \( AM \) bằng cách kiểm tra các góc và nhận thấy rằng chúng cùng một phương hướng.

Hy vọng phần trình bày trên đã giúp bạn rõ ràng hơn với bài toán! Nếu bạn cần thêm thông tin hay có câu hỏi khác, hãy cho tôi biết!