**Trường hợp 1:**

Given:
- $AB = 20$ cm
- $BC = 25$ cm

Since $\triangle ABC$ is right-angled at $A$, we can use the Pythagorean theorem and properties of similar triangles to find the lengths.

1. **Độ dài đoạn $BH$:**

$BH$ là đường cao từ $B$ xuống $AC$:
$BH = \frac{AB \times BC}{AC} = \frac{20 \times 25}{\sqrt{20^2 + 25^2}}$
$AC = \sqrt{20^2 + 25^2} = \sqrt{400 + 625} = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41}$
$BH = \frac{500}{5\sqrt{41}} = \frac{100}{\sqrt{41}} \approx 15.59 \text{ cm}$

2. **Độ dài đoạn $CH$:**

Vì $C$ là góc vuông và $CH = BC$:
$CH = 25 \text{ cm}$

3. **Độ dài đoạn $AH$:**

Đường cao $AH$ là cạnh huyền của tam giác vuông $ABH$:
$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{20^2 - \left(\frac{100}{\sqrt{41}}\right)^2}$
$AH = \sqrt{400 - \frac{10000}{41}} = \sqrt{\frac{16400 - 10000}{41}} = \sqrt{\frac{6400}{41}} = \frac{80}{\sqrt{41}} \approx 12.36 \text{ cm}$

4. **Độ dài đoạn $AC$:**

$AC$ là cạnh huyền của tam giác $ABC$:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 25^2} = 5\sqrt{41} \approx 35.96 \text{ cm}$

**Trường hợp 2:**

Given:
- $AB = 12$ cm
- $BC = 13$ cm

1. **Độ dài đoạn $BH$:**

$BH = \frac{AB \times BC}{AC} = \frac{12 \times 13}{\sqrt{12^2 + 13^2}} = \frac{156}{\sqrt{313}} \approx 7.88 \text{ cm}$

2. **Độ dài đoạn $CH$:**

$CH = 13 \text{ cm}$

3. **Độ dài đoạn $AH$:**

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{12^2 - \left(\frac{156}{\sqrt{313}}\right)^2} = \sqrt{\frac{144 \times 313 - 24336}{313}} = \sqrt{\frac{4008}{313}} \approx 10.11 \text{ cm}$

4. **Độ dài đoạn $AC$:**

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 13^2} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$

Đó là các giá trị tính toán cho các đoạn trong hai trường hợp khác nhau của tam giác vuông $ABC$.