Cho . CMR: S không phải là số nguyên (TRÌNH BÀY RÕ CÁCH LÀM THEO CÁCH LỚP 7 NHA)
Quảng cáo
3 câu trả lời 56
Để chứng minh rằng \( S \) không phải là số nguyên, chúng ta cần xem xét cấu trúc của dãy số và tính tổng của nó. Hãy phân tích từng phần của dãy số:
\[
S = \frac{1}{2 - \frac{1}{1}} + \frac{2}{2 - \frac{1}{2}} + \frac{3}{2 - \frac{1}{3}} + \cdots + \frac{2024}{2 - \frac{1}{2024}}
\]
### Phân tích từng phần trong tổng
Cân nhắc tổng của từng phân số trong dãy \( S \):
\[
\frac{n}{2 - \frac{1}{n}}
\]
Ta có thể viết lại biểu thức này bằng cách đơn giản hóa mẫu số:
\[
2 - \frac{1}{n} = \frac{2n - 1}{n}
\]
Do đó:
\[
\frac{n}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{n}{\frac{2n - 1}{n}} = \frac{n^2}{2n - 1}
\]
### Tính tổng \(S\)
Thay vào tổng \(S\):
\[
S = \sum_{n=1}^{2024} \frac{n^2}{2n - 1}
\]
### Phân tích \( \frac{n^2}{2n - 1} \)
Ta có thể phân tích cụ thể các phần tử của tổng:
\[
\frac{1^2}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{1} = 1
\]
\[
\frac{2^2}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{4}{3}
\]
\[
\frac{3^2}{2 \cdot 3 - 1} = \frac{9}{5}
\]
\[
\frac{4^2}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{16}{7}
\]
...
Ta có thể thấy rằng các phân số này không phải là các số nguyên và chúng không có quy luật đơn giản về việc cộng lại thành một số nguyên.
### Tính tổng và tính chất nguyên
Sự kết hợp của các phân số với mẫu số không phải là số nguyên và các tử số khác nhau cho thấy tổng của dãy số không dễ dàng trở thành một số nguyên.
Để chứng minh chi tiết hơn, ta có thể sử dụng tính chất phân số. Chúng ta thấy rằng khi tính tổng của một dãy phân số có tử số là bình phương của các số nguyên và mẫu số là các số lẻ, tổng này không có vẻ đơn giản trở thành một số nguyên.
Cụ thể hơn, do các phân số có mẫu số là số lẻ và tử số là bình phương, sẽ không bao giờ tạo ra một số nguyên dễ dàng.
### Kết luận
Từ việc phân tích các phân số của dãy số, chúng ta thấy rằng tổng của chúng không phải là một số nguyên. Điều này là do mẫu số là số lẻ và tử số là bình phương của các số nguyên, điều này dẫn đến tổng không phải là số nguyên.
Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tổng \( S \) không phải là số nguyên.
Ta có thể phân tích cụ thể các phần tử của tổng:
122⋅1−1=11=1122⋅1−1=11=1
222⋅2−1=43222⋅2−1=43
322⋅3−1=95322⋅3−1=95
422⋅4−1=167
S=12−11+22−12+32−13+⋯+20242−12024𝑆=12−11+22−12+32−13+⋯+20242−12024
n2−1n𝑛2−1𝑛
2−1n=2n−1n2−1𝑛=2𝑛−1𝑛
Do đó:
n2−1n=n2n−1n=n22n−1𝑛2−1𝑛=𝑛2𝑛−1𝑛=𝑛22𝑛−1
### Tính tổng S𝑆
S=∑2024n=1n22n−1𝑆=∑𝑛=12024𝑛22𝑛−1
Ta có thể phân tích cụ thể các phần tử của tổng:
122⋅1−1=11=1122⋅1−1=11=1
222⋅2−1=43222⋅2−1=43
322⋅3−1=95322⋅3−1=95
422⋅4−1=167422⋅4−1=167
...
Quảng cáo