### Bài 1: Tam giác ABC, góc B = 90°

**Giả thiết:** Tam giác ABC có góc B = 90°; BH vuông góc với AC.

#### a) Chứng minh \( AB^2 = AH \cdot AC \)

Ta có:

- \( H \) là hình chiếu của \( B \) trên \( AC \).
- Theo định lý Pytago trong tam giác vuông \( ABH \):

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]

- Cũng theo định lý Pytago trong tam giác vuông \( BCH \):

\[
BC^2 = HC^2 + BH^2
\]

Vì \( AC = AH + HC \), áp dụng định lý Pytago cho ba đoạn thẳng \( AH \), \( HC \):

\[
AC^2 = AH^2 + HC^2 + 2 \cdot AH \cdot HC
\]

Kết hợp các phương trình, sử dụng phần lớn của \( AC^2 \) cùng dòng phương trình 1 và 2, ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = AH^2 + HC^2 + 2 \cdot AH \cdot HC
\]

Sử dụng hằng đẳng thức, suy ra \( AB^2 = AH \cdot AC \).

#### b) Chứng minh \( AB \cdot BC = BH \cdot AC \)

Áp dụng định lý đồng dạng, ta có \( AB \) và \( AC \).

\[
\frac{AB}{AH} = \frac{BC}{BH}
\]

Khi nhân chéo, ta có:

\[
AB \cdot BH = AH \cdot BC \Rightarrow AB \cdot BC = BH \cdot AC
\]

#### c) Chứng minh \( BH^2 = AH \cdot HC \)

Trong tam giác vuông \( BHC \) tại \( H \):

\[
BH^2 = AH \cdot HC
\]

#### d) Chứng minh \( \frac{1}{BH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{BC^2} \)

Theo định lý Pytago, ta có:

\[
AB^2 + BC^2 = AC^2 \implies \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{BH^2} \Rightarrow \frac{1}{BH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{BC^2}
\]

### Bài 2: Tam giác ABC cân tại A, góc A < 90°

**Giả thiết:** Tam giác ABC cân tại A; BD vuông góc với AC; M thuộc BC; MH vuông góc với AB; MK vuông góc với AC.

#### Chứng minh \( MH + MK = BD \)

Do tam giác ABC là tam giác cân tại A, suy ra:

1. BD là đường cao từ B xuống AC.
2. \( MH \) là chiều cao từ M xuống AB.
3. \( MK \) là chiều cao từ M xuống AC.

Áp dụng Hình bình hành:

- M vì \( M \) nằm trên \( BC \), nên toàn bộ chiều cao từ B đến AC là \( MH + MK \).

Chiều cao của tam giác BDC là \( BD \), vì BDC cũng là tam giác vuông.

Vậy \( MH + MK = BD \).

### Bài 3: Tam giác ABC, Góc A = 90°

**Giả thiết:** Tam giác ABC có góc A = 90°; trọng tâm G; phân giác BD; GD vuông góc với AC.

#### Tính \( \frac{AB}{BC} \)

Trọng tâm G chia GD có tỉ lệ là 2:1 so với ba đỉnh của tam giác, vì thuộc về phần bốn của tam giác. Gọi:

- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)

Với cách dùng định lí lượng giác, tính diện tích cho tam giác ABC:

- Diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\).

Cho rằng \( c^2 + b^2 = a^2 \).

Từ G, ta có tỉ số:

\[
\frac{AB}{BC} = k
\]

Khi giải, sử dụng quy tắc giữa trung điểm và tổng diện tích. Ta có:

\[
\frac{c}{a} = \frac{1}{2}
\]

Vậy \( \frac{AB}{BC} = \frac{1}{2} \), hoặc tương đương là 2:1 do trọng tâm chia tỷ lệ của các đoạn thẳng.