Để giải hệ phương trình \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{7} \) và \( xyz = 84 \), ta làm như sau:

Gọi \( k \) là hằng số chung sao cho:

\[
\frac{x}{2} = k, \quad \frac{y}{4} = k, \quad \frac{z}{7} = k
\]

Từ đây, ta có:

\[
x = 2k, \quad y = 4k, \quad z = 7k
\]

Bây giờ ta thay các giá trị của \( x, y, z \) vào phương trình thứ hai \( xyz = 84 \):

\[
xyz = (2k)(4k)(7k) = 56k^3
\]

Vì vậy, ta có:

\[
56k^3 = 84
\]

Chia cho 56 cả hai vế:

\[
k^3 = \frac{84}{56}
\]

Tính giá trị:

\[
k^3 = \frac{3}{2}
\]

Giải phương trình cho \( k \):

\[
k = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \approx 1.1447
\]

Bây giờ, ta tính \( x, y, z \):

1. **Tính \( k \)**:
- \( k = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)

2. **Tính \( x, y, z \)**:
- \( x = 2k = 2\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)
- \( y = 4k = 4\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)
- \( z = 7k = 7\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)

### Kết quả:

- \( x \approx 2.289 \)
- \( y \approx 4.579 \)
- \( z \approx 8.25 \)

### Lưu ý:
Để biết chắc chắn các giá trị \( x, y, z \) theo số nguyên (nếu có), ta có thể xếp từng giá trị cho \( k \) là số nguyên và theo đó kiểm tra:

Mặt khác, ta có thể tìm giá trị \( k \) sao cho đưa hệ phương trình này về dạng đơn giản như sau:

Do đó, với:
\[
k^3 = \frac{3}{2} \implies k = 1
\]

Vậy lựa chọn \( k = 1 \) cho phép \( (k=1) \):

\[
x = 2 \cdot 1 = 2, \, y = 4 \cdot 1 = 4, \, z = 7 \cdot 1 = 7
\]

Tổng hợp lại, với:

- \( x = 2 \)
- \( y = 4 \)
- \( z = 7 \)

Do vậy \( xyz = 2 \times 4 \times 7 = 56 \) có mâu thuẫn với đề bài. Bạn có thể thử với các số nguyên khác.

Cuối cùng ta có:

Giá trị cuối cùng của x, y, z như sau là chưa đạt, cần thêm tùy chọn tuyệt đối sao cho một trong ba giá trị thành số nguyên tổng quát.

Để giải bài toán đã cho, ta bắt đầu từ phương trình \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{7} \). Ta đặt \( k \) là một hằng số và viết lại các biến \( x, y, z \) theo \( k \):

\[
\frac{x}{2} = k \implies x = 2k
\]
\[
\frac{y}{4} = k \implies y = 4k
\]
\[
\frac{z}{7} = k \implies z = 7k
\]

Bây giờ, ta có:

\[
xyz = (2k)(4k)(7k) = 56k^3
\]

Theo đề bài, \( xyz = 84 \). Vậy ta có phương trình:

\[
56k^3 = 84
\]

Chia cả hai vế cho 56:

\[
k^3 = \frac{84}{56} = \frac{3}{2}
\]

Vì vậy, ta tính được \( k \):

\[
k = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}
\]

Tiếp theo, chúng ta tìm giá trị của \( x, y, z \):

1. \( x = 2k = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)
2. \( y = 4k = 4 \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{2}} = 4 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)
3. \( z = 7k = 7 \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{2}} = 7 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)

Tóm lại, \( x, y, z \) được biểu diễn như sau:

\[
x = 2 \sqrt[3]{\frac{3}{2}}, \quad y = 4 \sqrt[3]{\frac{3}{2}}, \quad z = 7 \sqrt[3]{\frac{3}{2}}
\]

Còn nếu bạn muốn tính giá trị cụ thể cho \( x, y, z \), bạn có thể thay \( k \) vào. Tuy nhiên, từ thông tin đưa ra, đây là dạng biểu diễn tối ưu cho các giá trị đó.