Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm một số $x$ sao cho khi lấy số đó cộng với 85, sau đó cộng thêm 186 thì kết quả là hiệu của 525 và 97.

Gọi số cần tìm là $x$.

Theo đề bài, ta có phương trình:
$x + 85 + 186 = 525 - 97$

Bây giờ, thực hiện các phép tính để giải phương trình này:

1. Tính bên phải của phương trình:
$525 - 97 = 428$

2. Tiếp tục tính bên trái của phương trình:
$x + 85 + 186 = x + 271$

3. Đặt hai phía bằng nhau để giải phương trình:
$x + 271 = 428$

4. Giải phương trình để tìm $x$:
$x = 428 - 271$
$x = 157$

Vậy số cần tìm là $x = 157$.

Để kiểm tra lại:
- $x + 85 = 157 + 85 = 242$
- $242 + 186 = 428$

Và:
- $525 - 97 = 428$

Kết quả đúng như mong đợi. Vậy số cần tìm là $\boxed{157}$.