Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### Phần a:
\[ x + y = 13 \]
\[ y + z = -15 \]
\[ z + x = -16 \]

Cộng ba phương trình lại:
\[ (x + y) + (y + z) + (z + x) = 13 + (-15) + (-16) \]
\[ 2x + 2y + 2z = -18 \]
\[ x + y + z = -9 \]

Bây giờ ta có:
\[ x + y = 13 \]
\[ y + z = -15 \]
\[ x + y + z = -9 \]

Từ \( x + y = 13 \) và \( x + y + z = -9 \):
\[ z = -9 - 13 = -22 \]

Từ \( y + z = -15 \) và \( z = -22 \):
\[ y = -15 - (-22) = 7 \]

Từ \( x + y = 13 \) và \( y = 7 \):
\[ x = 13 - 7 = 6 \]

Vậy nghiệm là:
\[ x = 6 \]
\[ y = 7 \]
\[ z = -22 \]

### Phần b:
\[ x + y = -19 \]
\[ x - z = -21 \]
\[ z - x = 42 \]

Từ \( x - z = -21 \):
\[ x = z - 21 \]

Từ \( z - x = 42 \):
\[ z = x + 42 \]

Thay \( z = x + 42 \) vào \( x = z - 21 \):
\[ x = (x + 42) - 21 \]
\[ x = x + 21 \]

Điều này là mâu thuẫn, nên chúng ta kiểm tra lại cách giải.

Thay \( x = z - 21 \) vào \( z - x = 42 \):
\[ z - (z - 21) = 42 \]
\[ z - z + 21 = 42 \]
\[ 21 = 42 \]

Rõ ràng, phương trình không có nghiệm phù hợp, do đó có thể có nhầm lẫn trong đề bài.

### Phần c:
\[ x \cdot y = 2 \]
\[ y \cdot x = 6 \]
\[ z \cdot x = 3 \]

Dễ thấy rằng \( x \cdot y \neq y \cdot x \) là không hợp lý. Do đó, đề bài có thể chứa lỗi.

### Phần d:
\[ x(x + y + z) = 6 \]
\[ y(x + y + z) = 12 \]
\[ z(x + y + z) = 18 \]

Đặt \( S = x + y + z \), ta có:
\[ xS = 6 \]
\[ yS = 12 \]
\[ zS = 18 \]

Từ đó, ta có:
\[ \frac{yS}{xS} = \frac{12}{6} \rightarrow \frac{y}{x} = 2 \rightarrow y = 2x \]

\[ \frac{zS}{xS} = \frac{18}{6} \rightarrow \frac{z}{x} = 3 \rightarrow z = 3x \]

Thay vào phương trình \( x + y + z = S \):
\[ x + 2x + 3x = S \]
\[ 6x = S \]

Vậy, thay \( S = 6x \) vào các phương trình:
\[ x \cdot 6x = 6 \rightarrow 6x^2 = 6 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \]

Nếu \( x = 1 \):
\[ y = 2x = 2 \]
\[ z = 3x = 3 \]

Nếu \( x = -1 \):
\[ y = 2(-1) = -2 \]
\[ z = 3(-1) = -3 \]

Vậy các nghiệm là:
\[ (x, y, z) = (1, 2, 3) \text{ hoặc } (-1, -2, -3) \]

Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng hệ phương trình. Dưới đây là các bước giải cho từng trường hợp.

### a) \( x + y = 13 \)
\( y + z = -15 \)
\( z + x = -16 \)

**Giải:**

1. Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
y = 13 - x
\]

2. Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
(13 - x) + z = -15 \implies z = -15 - 13 + x = x - 28
\]

3. Thay \( z \) vào phương trình thứ ba:
\[
(x - 28) + x = -16 \implies 2x - 28 = -16 \implies 2x = 12 \implies x = 6
\]

4. Tìm \( y \) và \( z \):
\[
y = 13 - 6 = 7
\]
\[
z = 6 - 28 = -22
\]

**Nghiệm:** \( (x, y, z) = (6, 7, -22) \)

### b) \( x + y = -19 \)
\( x - z = -21 \)
\( z - x = 42 \)

**Giải:**

1. Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[
z = x + 21
\]

2. Thay \( z \) vào phương trình thứ ba:
\[
(x + 21) - x = 42 \implies 21 = 42 \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

**Nghiệm:** Không có nghiệm.

### c) \( xy = 2 \)
\( yx = 6 \)
\( zx = 3 \)

**Giải:**

Phương trình thứ hai \( yx \) là tương đương với \( xy \), vì vậy không có thông tin mới. Từ \( xy = 2 \), ta có thể tìm các cặp \( (x, y) \).

1. Giả sử \( x = 1 \):
\[
y = 2
\]
\[
zx = 3 \implies z = \frac{3}{x} = \frac{3}{1} = 3
\]
Nghiệm: \( (1, 2, 3) \)

2. Giả sử \( x = 2 \):
\[
y = 1
\]
\[
zx = 3 \implies z = \frac{3}{2}
\]
Không phải số nguyên.

3. Giả sử \( x = -1 \):
\[
y = -2
\]
\[
zx = 3 \implies z = -\frac{3}{1} = -3
\]
Nghiệm: \( (-1, -2, -3) \)

4. Giả sử \( x = -2 \):
\[
y = -1
\]
\[
z = -\frac{3}{2}
\]
Không phải số nguyên.

**Nghiệm:** Các nghiệm là \( (1, 2, 3) \) và \( (-1, -2, -3) \).

### d) \( x(x + y + z) = 6 \)
\( y(x + y + z) = 12 \)
\( z(x + y + z) = 18 \)

**Giải:**

Từ ba phương trình, ta có thể chia chúng cho nhau.

1. Chia phương trình 2 cho phương trình 1:
\[
\frac{y}{x} = \frac{12}{6} \implies y = 2x
\]

2. Chia phương trình 3 cho phương trình 1:
\[
\frac{z}{x} = \frac{18}{6} \implies z = 3x
\]

3. Thay vào phương trình đầu tiên:
\[
x(x + 2x + 3x) = 6 \implies x(6x) = 6 \implies 6x^2 = 6 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1
\]

- Nếu \( x = 1 \):
\[
y = 2 \cdot 1 = 2, \quad z = 3 \cdot 1 = 3 \implies (1, 2, 3)
\]

- Nếu \( x = -1 \):
\[
y = 2 \cdot (-1) = -2, \quad z = 3 \cdot (-1) = -3 \implies (-1, -2, -3)
\]

**Nghiệm:** \( (1, 2, 3) \) và \( (-1, -2, -3) \).

### Tóm tắt các nghiệm:
- a) \( (6, 7, -22) \)
- b) Không có nghiệm.
- c) \( (1, 2, 3) \) và \( (-1, -2, -3) \)
- d) \( (1, 2, 3) \) và \( (-1, -2, -3) \)