1. Giải các phương trình chứa giá trị tuyệt đối:

a) \(|2x - 3| + 5x = 25\)

Chúng ta cần xét hai trường hợp cho \(|2x - 3|\):

**Trường hợp 1:** \(2x - 3 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq 3 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}\)

Khi đó, \(|2x - 3| = 2x - 3\):

\[
2x - 3 + 5x = 25
\]
\[
7x - 3 = 25
\]
\[
7x = 28
\]
\[
x = 4
\]

Ta kiểm tra lại điều kiện \(x \geq \frac{3}{2}\), và \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện này.

**Trường hợp 2:** \(2x - 3 < 0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2}\)

Khi đó, \(|2x - 3| = 3 - 2x\):

\[
3 - 2x + 5x = 25
\]
\[
3 + 3x = 25
\]
\[
3x = 22
\]
\[
x = \frac{22}{3}
\]

Ta kiểm tra lại điều kiện \(x < \frac{3}{2}\), và \(x = \frac{22}{3}\) không thỏa mãn điều kiện này.

Vậy, nghiệm của phương trình \(|2x - 3| + 5x = 25\) là \(x = 4\).

b) \(|3x + 5| - |x - 3| = 20\)

Để giải phương trình này, chúng ta cần xét các khoảng mà các giá trị tuyệt đối thay đổi.

**Khoảng 1:** \(x \geq 3\)

Khi đó, \(|3x + 5| = 3x + 5\) và \(|x - 3| = x - 3\):

\[
3x + 5 - (x - 3) = 20
\]
\[
3x + 5 - x + 3 = 20
\]
\[
2x + 8 = 20
\]
\[
2x = 12
\]
\[
x = 6
\]

Ta kiểm tra lại điều kiện \(x \geq 3\), và \(x = 6\) thỏa mãn điều kiện này.

**Khoảng 2:** \(-\frac{5}{3} \leq x < 3\)

Khi đó, \(|3x + 5| = 3x + 5\) và \(|x - 3| = 3 - x\):

\[
3x + 5 - (3 - x) = 20
\]
\[
3x + 5 - 3 + x = 20
\]
\[
4x + 2 = 20
\]
\[
4x = 18
\]
\[
x = \frac{9}{2}
\]

Ta kiểm tra lại điều kiện \(-\frac{5}{3} \leq x < 3\), và \(x = \frac{9}{2}\) không thỏa mãn điều kiện này.

**Khoảng 3:** \(x < -\frac{5}{3}\)

Khi đó, \(|3x + 5| = -3x - 5\) và \(|x - 3| = 3 - x\):

\[
-3x - 5 - (3 - x) = 20
\]
\[
-3x - 5 - 3 + x = 20
\]
\[
-2x - 8 = 20
\]
\[
-2x = 28
\]
\[
x = -14
\]

Ta kiểm tra lại điều kiện \(x < -\frac{5}{3}\), và \(x = -14\) thỏa mãn điều kiện này.

Vậy, nghiệm của phương trình \(|3x + 5| - |x - 3| = 20\) là \(x = 6\) và \(x = -14\).

c) \(|2x - 1| + |x + y - 2| = 0\)

Vì tổng của các giá trị tuyệt đối bằng 0, nên từng phần tử bên trong các giá trị tuyệt đối phải bằng 0:

\[
2x - 1 = 0 \quad \text{và} \quad x + y - 2 = 0
\]

Giải các phương trình này:

\[
2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{1}{2} + y - 2 = 0
\]
\[
y = 2 - \frac{1}{2}
\]
\[
y = \frac{3}{2}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình \(|2x - 1| + |x + y - 2| = 0\) là \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = \frac{3}{2}\).

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A = |x - 3| + |2y + 1|\):

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = |x - 3| + |2y + 1|\), ta xét từng trường hợp của giá trị tuyệt đối.

**Trường hợp 1:** \(x = 3\) và \(2y + 1 = 0\)

Khi đó, ta có:

\[
|x - 3| = |3 - 3| = 0
\]
\[
|2y + 1| = |2y + 1| = 0 \quad \Rightarrow 2y + 1 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}
\]

Vậy, tại điểm \((x, y) = (3, -\frac{1}{2})\), giá trị của \(A\) là:

\[
A = |3 - 3| + |2(-\frac{1}{2}) + 1| = 0 + 0 = 0
\]

Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 0 khi \(x = 3\) và \(y = -\frac{1}{2}\).

1. Giải các phương trình chứa giá trị tuyệt đối:

a) |2x−3|+5x=25|2𝑥−3|+5𝑥=25

Chúng ta cần xét hai trường hợp cho |2x−3||2𝑥−3|:

**Trường hợp 1:** 2x−3≥0⇒2x≥3⇒x≥322𝑥−3≥0⇒2𝑥≥3⇒𝑥≥32

Khi đó, |2x−3|=2x−3|2𝑥−3|=2𝑥−3:

2x−3+5x=252𝑥−3+5𝑥=25
7x−3=257𝑥−3=25
7x=287𝑥=28
x=4𝑥=4

Ta kiểm tra lại điều kiện x≥32𝑥≥32, và x=4𝑥=4 thỏa mãn điều kiện này.

**Trường hợp 2:** 2x−3<0⇒2x<3⇒x<322𝑥−3<0⇒2𝑥<3⇒𝑥<32

Khi đó, |2x−3|=3−2x|2𝑥−3|=3−2𝑥:

3−2x+5x=253−2𝑥+5𝑥=25
3+3x=253+3𝑥=25
3x=223𝑥=22
x=223𝑥=223

Ta kiểm tra lại điều kiện x<32𝑥<32, và x=223𝑥=223 không thỏa mãn điều kiện này.

Vậy, nghiệm của phương trình |2x−3|+5x=25|2𝑥−3|+5𝑥=25 là x=4𝑥=4.

b) |3x+5|−|x−3|=20|3𝑥+5|−|𝑥−3|=20

Để giải phương trình này, chúng ta cần xét các khoảng mà các giá trị tuyệt đối thay đổi.

**Khoảng 1:** x≥3𝑥≥3

Khi đó, |3x+5|=3x+5|3𝑥+5|=3𝑥+5 và |x−3|=x−3|𝑥−3|=𝑥−3:

3x+5−(x−3)=203𝑥+5−(𝑥−3)=20
3x+5−x+3=203𝑥+5−𝑥+3=20
2x+8=202𝑥+8=20
2x=122𝑥=12
x=6𝑥=6

Ta kiểm tra lại điều kiện x≥3𝑥≥3, và x=6𝑥=6 thỏa mãn điều kiện này.

**Khoảng 2:** −53≤x<3−53≤𝑥<3

Khi đó, |3x+5|=3x+5|3𝑥+5|=3𝑥+5 và |x−3|=3−x|𝑥−3|=3−𝑥:

3x+5−(3−x)=203𝑥+5−(3−𝑥)=20
3x+5−3+x=203𝑥+5−3+𝑥=20
4x+2=204𝑥+2=20
4x=184𝑥=18
x=92𝑥=92

Ta kiểm tra lại điều kiện −53≤x<3−53≤𝑥<3, và x=92𝑥=92 không thỏa mãn điều kiện này.

**Khoảng 3:** x<−53𝑥<−53

Khi đó, |3x+5|=−3x−5|3𝑥+5|=−3𝑥−5 và |x−3|=3−x|𝑥−3|=3−𝑥:

−3x−5−(3−x)=20−3𝑥−5−(3−𝑥)=20
−3x−5−3+x=20−3𝑥−5−3+𝑥=20
−2x−8=20−2𝑥−8=20
−2x=28−2𝑥=28
x=−14𝑥=−14

Ta kiểm tra lại điều kiện x<−53𝑥<−53, và x=−14𝑥=−14 thỏa mãn điều kiện này.

Vậy, nghiệm của phương trình |3x+5|−|x−3|=20|3𝑥+5|−|𝑥−3|=20 là x=6𝑥=6 và x=−14𝑥=−14.

c) |2x−1|+|x+y−2|=0|2𝑥−1|+|𝑥+𝑦−2|=0

Vì tổng của các giá trị tuyệt đối bằng 0, nên từng phần tử bên trong các giá trị tuyệt đối phải bằng 0:

2x−1=0vàx+y−2=02𝑥−1=0và𝑥+𝑦−2=0

Giải các phương trình này:

2x−1=0⇒x=122𝑥−1=0⇒𝑥=12

Thay x=12𝑥=12 vào phương trình thứ hai:

12+y−2=012+𝑦−2=0
y=2−12𝑦=2−12
y=32𝑦=32

Vậy, nghiệm của phương trình |2x−1|+|x+y−2|=0|2𝑥−1|+|𝑥+𝑦−2|=0 là x=12𝑥=12 và y=32𝑦=32.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=|x−3|+|2y+1|𝐴=|𝑥−3|+|2𝑦+1|:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=|x−3|+|2y+1|𝐴=|𝑥−3|+|2𝑦+1|, ta xét từng trường hợp của giá trị tuyệt đối.

**Trường hợp 1:** x=3𝑥=3 và 2y+1=02𝑦+1=0

Khi đó, ta có:

|x−3|=|3−3|=0|𝑥−3|=|3−3|=0
|2y+1|=|2y+1|=0⇒2y+1=0⇒y=−12|2𝑦+1|=|2𝑦+1|=0⇒2𝑦+1=0⇒𝑦=−12

Vậy, tại điểm (x,y)=(3,−12)(𝑥,𝑦)=(3,−12), giá trị của A𝐴 là:

A=|3−3|+|2(−12)+1|=0+0=0𝐴=|3−3|+|2(−12)+1|=0+0=0

Giá trị nhỏ nhất của A𝐴 là 0 khi x=3𝑥=3 và y=−12𝑦=−12.