Để tìm số nguyên \( k \) sao cho điểm \( M \) trùng với điểm \( N \) trên đường tròn lượng giác với các góc lượng giác là \( \frac{\pi}{5} \) và \( \frac{k\pi}{80} \), ta cần tính khoảng cách giữa \( M \) và \( N \) trên đường tròn, và sau đó tìm \( k \) sao cho khoảng cách đó là bội số của chu kỳ của đường tròn lượng giác.

1. **Tính khoảng cách giữa \( M \) và \( N \):**

Khoảng cách giữa hai điểm trên đường tròn với góc lượng giác \( \theta \) tính bằng:
\[ d = R \cdot |\theta_1 - \theta_2| \]
Trong đó \( R \) là bán kính của đường tròn (có thể cho là 1 nếu không có giá trị cụ thể khác), và \( \theta_1, \theta_2 \) là các góc lượng giác.

Với \( \theta_1 = \frac{\pi}{5} \) và \( \theta_2 = \frac{k\pi}{80} \), ta có:
\[ d = R \cdot \left| \frac{\pi}{5} - \frac{k\pi}{80} \right| \]

2. **Tìm \( k \) sao cho \( M \) trùng với \( N \):**

Để \( M \) trùng với \( N \), khoảng cách \( d \) giữa chúng phải là bội số của chu kỳ của đường tròn lượng giác. Điều này xảy ra khi:
\[ \left| \frac{\pi}{5} - \frac{k\pi}{80} \right| = \frac{2n\pi}{80} \]
Với \( n \) là số nguyên.

Giải phương trình này để tìm \( k \):
\[ \frac{\pi}{5} - \frac{k\pi}{80} = \pm \frac{2n\pi}{80} \]
Hoặc:
\[ \frac{\pi}{5} - \frac{k\pi}{80} = \frac{2n\pi}{80} \]
hoặc:
\[ \frac{\pi}{5} - \frac{k\pi}{80} = -\frac{2n\pi}{80} \]

Từ đó tính được \( k \) và kiểm tra các đáp án để tìm số nguyên \( k \) thỏa mãn.

Dựa vào các lựa chọn đáp án, ta cần xem xét rõ ràng các giá trị \( k \) để tìm ra đáp án chính xác