## Bài 1: Tính tổng \(A = 20 + 22 + 24 + 26 + \ldots + 298 + 300\)

Dãy số này là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu \(a = 20\)
- Công sai \(d = 2\)
- Số hạng cuối \(l = 300\)

Ta cần tìm số hạng thứ \(n\). Số hạng thứ \(n\) của một cấp số cộng được tính bằng công thức:
\[
a_n = a + (n-1)d
\]

Với \(a_n = 300\), ta có:
\[
300 = 20 + (n-1) \cdot 2
\]
\[
300 = 20 + 2n - 2
\]
\[
300 = 18 + 2n
\]
\[
282 = 2n
\]
\[
n = 141
\]

Số hạng cuối cùng là số hạng thứ 141. Tổng của một cấp số cộng được tính bằng công thức:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)
\]

Vậy tổng \(A\) là:
\[
A = \frac{141}{2} \cdot (20 + 300)
\]
\[
A = \frac{141}{2} \cdot 320
\]
\[
A = 141 \cdot 160
\]
\[
A = 22560
\]

## Bài 2: Chứng minh rằng \(B = 50 + 52 + 54 + \ldots + 540\) chia hết cho 26

Dãy số này cũng là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu \(a = 50\)
- Công sai \(d = 2\)
- Số hạng cuối \(l = 540\)

Tìm số hạng thứ \(n\):
\[
540 = 50 + (n-1) \cdot 2
\]
\[
540 = 50 + 2n - 2
\]
\[
540 = 48 + 2n
\]
\[
492 = 2n
\]
\[
n = 246
\]

Tổng của cấp số cộng này là:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)
\]
\[
B = \frac{246}{2} \cdot (50 + 540)
\]
\[
B = 123 \cdot 590
\]
\[
B = 72570
\]

Kiểm tra \(B\) chia hết cho 26:
\[
72570 \div 26 = 2791.923076923
\]
\[
72570 \mod 26 = 0
\]

Vậy \(B\) chia hết cho 26.

## Bài 3: Chứng minh rằng: \( \frac{7}{12} < \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{k(k+1)} < \frac{5}{6} \)

Ta sử dụng tính chất của chuỗi hình học lùi:
\[
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
\]

Tổng của chuỗi này là:
\[
\sum_{k=1}^{99} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
\]

Tất cả các số hạng ở giữa triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
\[
1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{7}{12} \approx 0.5833 < \frac{99}{100} = 0.99 < \frac{5}{6} \approx 0.8333
\]

Vậy ta chứng minh được rằng:
\[
\frac{7}{12} < \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{k(k+1)} < \frac{5}{6}
\]

## Bài 1: Tính tổng A=20+22+24+26+…+298+300𝐴=20+22+24+26+…+298+300

Dãy số này là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu a=20𝑎=20
- Công sai d=2𝑑=2
- Số hạng cuối l=300𝑙=300

Ta cần tìm số hạng thứ n𝑛. Số hạng thứ n𝑛 của một cấp số cộng được tính bằng công thức:
an=a+(n−1)d𝑎𝑛=𝑎+(𝑛−1)𝑑

Với an=300𝑎𝑛=300, ta có:
300=20+(n−1)⋅2300=20+(𝑛−1)⋅2
300=20+2n−2300=20+2𝑛−2
300=18+2n300=18+2𝑛
282=2n282=2𝑛
n=141𝑛=141

Số hạng cuối cùng là số hạng thứ 141. Tổng của một cấp số cộng được tính bằng công thức:
Sn=n2⋅(a+l)𝑆𝑛=𝑛2⋅(𝑎+𝑙)

Vậy tổng A𝐴 là:
A=1412⋅(20+300)𝐴=1412⋅(20+300)
A=1412⋅320𝐴=1412⋅320
A=141⋅160𝐴=141⋅160
A=22560𝐴=22560

## Bài 2: Chứng minh rằng B=50+52+54+…+540𝐵=50+52+54+…+540 chia hết cho 26

Dãy số này cũng là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu a=50𝑎=50
- Công sai d=2𝑑=2
- Số hạng cuối l=540𝑙=540

Tìm số hạng thứ n𝑛:
540=50+(n−1)⋅2540=50+(𝑛−1)⋅2
540=50+2n−2540=50+2𝑛−2
540=48+2n540=48+2𝑛
492=2n492=2𝑛
n=246𝑛=246

Tổng của cấp số cộng này là:
Sn=n2⋅(a+l)𝑆𝑛=𝑛2⋅(𝑎+𝑙)
B=2462⋅(50+540)𝐵=2462⋅(50+540)
B=123⋅590𝐵=123⋅590
B=72570𝐵=72570

Kiểm tra B𝐵 chia hết cho 26:
72570÷26=2791.92307692372570÷26=2791.923076923
72570mod26=072570mod26=0

Vậy B𝐵 chia hết cho 26.

## Bài 3: Chứng minh rằng: 712<∑99k=11k(k+1)<56712<∑𝑘=1991𝑘(𝑘+1)<56

Ta sử dụng tính chất của chuỗi hình học lùi:
1k(k+1)=1k−1k+11𝑘(𝑘+1)=1𝑘−1𝑘+1

Tổng của chuỗi này là:
∑99k=1(1k−1k+1)=(1−12)+(12−13)+…+(199−1100)∑𝑘=199(1𝑘−1𝑘+1)=(1−12)+(12−13)+…+(199−1100)

Tất cả các số hạng ở giữa triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
1−1100=991001−1100=99100

Vậy ta có:
712≈0.5833<99100=0.99<56≈0.8333712≈0.5833<99100=0.99<56≈0.8333

Vậy ta chứng minh được rằng:
712<∑99k=11k(k+1)<56