Để chứng minh phương trình \( \cos \frac{5}{2}x \cdot \cos \frac{3}{2}x + \sin \frac{7}{2}x \cdot \sin \frac{x}{2} = \cos 2x \cdot \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi trong hàm cos và hàm sin. Hãy bắt đầu bằng cách sử dụng công thức nhân cosin:

\[ \cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] \]

Áp dụng công thức này vào phần tử đầu tiên của phương trình:

\[ \cos \frac{5}{2}x \cdot \cos \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}[\cos(\frac{5}{2}x + \frac{3}{2}x) + \cos(\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}x)] \]
\[ = \frac{1}{2}[\cos(4x) + \cos(x)] \]

Tiếp theo, chúng ta sử dụng công thức nhân sin:

\[ \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] \]

Áp dụng công thức này vào phần tử thứ hai của phương trình:

\[ \sin \frac{7}{2}x \cdot \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}[\cos(\frac{7}{2}x - \frac{x}{2}) - \cos(\frac{7}{2}x + \frac{x}{2})] \]
\[ = \frac{1}{2}[\cos(3x) - \cos(4x)] \]

Bây giờ thay vào phương trình ban đầu:

\[ \frac{1}{2}[\cos(4x) + \cos(x)] + \frac{1}{2}[\cos(3x) - \cos(4x)] \]

Khi rút gọn, ta có:

\[ \frac{1}{2}[\cos(x) + \cos(3x)] \]

Bên phải của phương trình ban đầu là:

\[ \cos 2x \cdot \cos x = \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos(x)] \]

Vậy nên, ta đã chứng minh được:

\[ \cos \frac{5}{2}x \cdot \cos \frac{3}{2}x + \sin \frac{7}{2}x \cdot \sin \frac{x}{2} = \cos 2x \cdot \cos x \]

Điều này hoàn thành chứng minh.

Để chứng minh phương trình cos52x⋅cos32x+sin72x⋅sinx2=cos2x⋅cosxcos⁡52?⋅cos⁡32?+sin⁡72?⋅sin⁡?2=cos⁡2?⋅cos⁡?, chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi trong hàm cos và hàm sin. Hãy bắt đầu bằng cách sử dụng công thức nhân cosin:

cosA⋅cosB=12[cos(A+B)+cos(A−B)]cos⁡?⋅cos⁡?=12[cos⁡(?+?)+cos⁡(?−?)]

Áp dụng công thức này vào phần tử đầu tiên của phương trình:

cos52x⋅cos32x=12[cos(52x+32x)+cos(52x−32x)]cos⁡52?⋅cos⁡32?=12[cos⁡(52?+32?)+cos⁡(52?−32?)]
=12[cos(4x)+cos(x)]=12[cos⁡(4?)+cos⁡(?)]

Tiếp theo, chúng ta sử dụng công thức nhân sin:

sinA⋅sinB=12[cos(A−B)−cos(A+B)]sin⁡?⋅sin⁡?=12[cos⁡(?−?)−cos⁡(?+?)]

Áp dụng công thức này vào phần tử thứ hai của phương trình:

sin72x⋅sinx2=12[cos(72x−x2)−cos(72x+x2)]sin⁡72?⋅sin⁡?2=12[cos⁡(72?−?2)−cos⁡(72?+?2)]
=12[cos(3x)−cos(4x)]=12[cos⁡(3?)−cos⁡(4?)]

Bây giờ thay vào phương trình ban đầu:

12[cos(4x)+cos(x)]+12[cos(3x)−cos(4x)]12[cos⁡(4?)+cos⁡(?)]+12[cos⁡(3?)−cos⁡(4?)]

Khi rút gọn, ta có:

12[cos(x)+cos(3x)]12[cos⁡(?)+cos⁡(3?)]

Bên phải của phương trình ban đầu là:

cos2x⋅cosx=12[cos(3x)+cos(x)]cos⁡2?⋅cos⁡?=12[cos⁡(3?)+cos⁡(?)]

Vậy nên, ta đã chứng minh được:

cos52x⋅cos32x+sin72x⋅sinx2=cos2x⋅cosxcos⁡52?⋅cos⁡32?+sin⁡72?⋅sin⁡?2=cos⁡2?⋅cos⁡?

Điều này hoàn thành chứng minh.