Chứng minh rằng
Quảng cáo
1 câu trả lời 826
Để chứng minh bất đẳng thức:
\[ \frac{2n(2n-1)\cdots(n+1)}{n(n-1)\cdots 2 \cdot 1} \geq \frac{4^n}{n+1} \]
ta sẽ thực hiện các bước sau:
### Bước 1: Biểu diễn dưới dạng tổ hợp
Xét biểu thức:
\[ \frac{2n(2n-1)\cdots(n+1)}{n(n-1)\cdots 2 \cdot 1} \]
Đây là biểu thức tổ hợp:
\[ \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \]
hay còn gọi là tổ hợp chập \( n \) của \( 2n \) phần tử, ký hiệu là \( C(2n, n) \) hoặc \( \binom{2n}{n} \).
### Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Stirling
Bất đẳng thức Stirling cho phép xấp xỉ giai thừa, đặc biệt là:
\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]
Do đó, ta có:
\[ (2n)! \approx \sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \]
\[ (n!)^2 \approx 2\pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n} \]
Do đó:
\[ \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \approx \frac{\sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}} = \frac{\sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}} \]
Ta có thể đơn giản hóa như sau:
\[ \binom{2n}{n} \approx \frac{\sqrt{4\pi n} \left(2^n n^n e^{-2n}\right)}{2\pi n n^n e^{-2n}} = \frac{\sqrt{4\pi n} \cdot 2^{2n}}{2\pi n} = \frac{\sqrt{4\pi n} \cdot 4^n}{2\pi n} \]
### Bước 3: So sánh với vế phải của bất đẳng thức
Ta cần chứng minh rằng:
\[ \frac{\sqrt{4\pi n} \cdot 4^n}{2\pi n} \geq \frac{4^n}{n+1} \]
Điều này tương đương với việc chứng minh:
\[ \frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n} \geq \frac{1}{n+1} \]
Hay:
\[ \frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n} \geq \frac{1}{n+1} \]
\[ \sqrt{4\pi n} \cdot (n + 1) \geq 2\pi n^2 \]
Hay:
\[ \sqrt{4\pi n} \cdot (n + 1) \geq 2\pi n^2 \]
### Bước 4: Kiểm tra bất đẳng thức
Chia cả hai vế cho \( n \sqrt{4\pi n} \), ta có:
\[ (n + 1) \geq \frac{2\pi n^2}{\sqrt{4\pi n}} \]
\[ (n + 1) \geq n\sqrt{\pi} \]
Dễ thấy rằng bất đẳng thức này đúng khi \( n \) đủ lớn vì \( n \sqrt{\pi} \leq n + 1 \).
Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK120578
-
81263
-
59365
-
돈이없다 💸😭
435 điểm
-
반짝이는 달 420 điểm
-
야연 ✨
400 điểm
-
보고 싶어요
385 điểm
-
jet jet #
345 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
305 điểm
-
`d.`
285 điểm
-
Kiều Anh 170 điểm
-
Phát: ''đạp = niềm tin hả?''; t : ''🤫🧏''
135 điểm
-
`color{blue}text{이 글을 읽는 사람은 바보다.`베트남이 챔피언입니다.
105 điểm
-
Hung Hungdoan 100 điểm
-
baolam<3
70 điểm
-
Paris.khong.co.em...
70 điểm
-
Judy Hopps
60 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 7
-
2 năm trước4926
