Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ biểu thức đã cho:
\[ A = (x+y)^2 + (x-y)^2 - 2(x+y)(y-x) \]

Đặt \( x = \frac{1}{3} \) và \( y = 2 \), ta thay vào biểu thức trên:

1. Tính \( (x+y)^2 \):
\[ (x+y)^2 = \left(\frac{1}{3} + 2\right)^2 = \left(\frac{1}{3} + 2\right)^2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{6}{3}\right)^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} \]

2. Tính \( (x-y)^2 \):
\[ (x-y)^2 = \left(\frac{1}{3} - 2\right)^2 = \left(\frac{1}{3} - \frac{6}{3}\right)^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \]

3. Tính \( 2(x+y)(y-x) \):
\[ 2(x+y)(y-x) = 2\left(\frac{1}{3} + 2\right)(2 - \frac{1}{3}) \]
\[ = 2 \left(\frac{7}{3}\right)\left(\frac{5}{3}\right) \]
\[ = 2 \cdot \frac{35}{9} = \frac{70}{9} \]

4. Tính tổng các phần tử:
\[ A = \frac{49}{9} + \frac{25}{9} - \frac{70}{9} \]

5. Thực hiện phép tính:
\[ A = \frac{49 + 25 - 70}{9} \]
\[ A = \frac{4}{9} \]

Vậy, giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = \frac{1}{3}, y = 2 \) là \( \frac{4}{9} \).

1. Tính (x+y)2(𝑥+𝑦)2:
(x+y)2=(13+2)2=(13+2)2=(13+63)2=(73)2=499(𝑥+𝑦)2=(13+2)2=(13+2)2=(13+63)2=(73)2=499

2. Tính (x−y)2(𝑥−𝑦)2:
(x−y)2=(13−2)2=(13−63)2=(−53)2=259(𝑥−𝑦)2=(13−2)2=(13−63)2=(−53)2=259

3. Tính 2(x+y)(y−x)2(𝑥+𝑦)(𝑦−𝑥):
2(x+y)(y−x)=2(13+2)(2−13)2(𝑥+𝑦)(𝑦−𝑥)=2(13+2)(2−13)
=2(73)(53)=2(73)(53)
=2⋅359=709=2⋅359=709

4. Tính tổng các phần tử:
A=499+259−709𝐴=499+259−709

5. Thực hiện phép tính:
A=49+25−709𝐴=49+25−709
A=49𝐴=49

Vậy, giá trị của biểu thức A𝐴 tại x=13,y=2𝑥=13,𝑦=2 là 4949.