Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng nguyên lý của định lí Helly trong hình học tổ hợp.

Bước 1: Khai báo và áp dụng định lí Helly

Định lí Helly cho biết: Cho \( n \) tập con của một không gian \( \mathbb{R}^d \) sao cho mọi \( d+1 \) tập con bất kỳ có tính chất chồng lấn, thì tồn tại ít nhất một điểm chung của tất cả các tập con này.

Ở đây, chúng ta có 6 điểm trong mặt phẳng Euclid \( \mathbb{R}^2 \), trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và mỗi bộ 3 điểm bất kỳ có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Điều này cho phép chúng ta áp dụng định lí Helly trong không gian hai chiều.

Bước 2: Chứng minh

Giả sử ngược lại rằng không tồn tại tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013 với 6 điểm đã cho. Khi đó, chúng ta phải chứng minh rằng có tối thiểu 3 điểm không thể hợp thành một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.

Xét mỗi bộ 3 điểm từ các điểm \( A_1, A_2, ..., A_6 \). Do không tồn tại tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013, nên chu vi của mỗi tam giác tạo bởi 3 điểm bất kỳ phải lớn hơn hoặc bằng 2013.

Theo giả thiết, mỗi bộ 3 điểm có ít nhất 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Điều này ngụ ý rằng, trong mỗi bộ 3 điểm, tồn tại ít nhất một cặp điểm gần nhau. Nếu 3 điểm này có chu vi lớn hơn hoặc bằng 2013, thì chắc chắn không thể có 2 điểm nào có khoảng cách nhỏ hơn 671.

Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, khi mỗi bộ 3 điểm bất kỳ lại có 2 điểm gần nhau. Do đó, giả thiết là sai.

Kết luận: Từ đó, suy ra luôn tồn tại ít nhất một tam giác với chu vi nhỏ hơn 2013 từ 6 điểm đã cho. Điều này hoàn thành việc chứng minh bài toán.