Để giải phương trình \( 2x + 3y = 78 \) và tìm số cặp nghiệm nguyên dương \((x, y)\), ta cần xét các giá trị nguyên dương của \( x \) và tính \( y \) tương ứng.

Bắt đầu với giá trị nguyên dương của \( x \):
- Khi \( x = 1 \):
\[
2 \cdot 1 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 76 \Rightarrow y = \frac{76}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 2 \):
\[
2 \cdot 2 + 3y = 78 \Rightarrow 4 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 74 \Rightarrow y = \frac{74}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 3 \):
\[
2 \cdot 3 + 3y = 78 \Rightarrow 6 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 72 \Rightarrow y = 24
\]
Ta có cặp nghiệm nguyên dương \( (3, 24) \).

- Khi \( x = 4 \):
\[
2 \cdot 4 + 3y = 78 \Rightarrow 8 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 70 \Rightarrow y = \frac{70}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 5 \):
\[
2 \cdot 5 + 3y = 78 \Rightarrow 10 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 68 \Rightarrow y = \frac{68}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 6 \):
\[
2 \cdot 6 + 3y = 78 \Rightarrow 12 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 66 \Rightarrow y = 22
\]
Ta có cặp nghiệm nguyên dương \( (6, 22) \).

Tiếp tục kiểm tra các giá trị tiếp theo của \( x \):
- Khi \( x = 7 \):
\[
2 \cdot 7 + 3y = 78 \Rightarrow 14 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 64 \Rightarrow y = \frac{64}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 8 \):
\[
2 \cdot 8 + 3y = 78 \Rightarrow 16 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 62 \Rightarrow y = \frac{62}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 9 \):
\[
2 \cdot 9 + 3y = 78 \Rightarrow 18 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 60 \Rightarrow y = 20
\]
Ta có cặp nghiệm nguyên dương \( (9, 20) \).

- Khi \( x = 10 \):
\[
2 \cdot 10 + 3y = 78 \Rightarrow 20 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 58 \Rightarrow y = \frac{58}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 11 \):
\[
2 \cdot 11 + 3y = 78 \Rightarrow 22 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 56 \Rightarrow y = \frac{56}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 12 \):
\[
2 \cdot 12 + 3y = 78 \Rightarrow 24 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 54 \Rightarrow y = 18
\]
Ta có cặp nghiệm nguyên dương \( (12, 18) \).

- Khi \( x = 13 \):
\[
2 \cdot 13 + 3y = 78 \Rightarrow 26 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 52 \Rightarrow y = \frac{52}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 14 \):
\[
2 \cdot 14 + 3y = 78 \Rightarrow 28 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 50 \Rightarrow y = \frac{50}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Khi \( x = 15 \):
\[
2 \cdot 15 + 3y = 78 \Rightarrow 30 + 3y = 78 \Rightarrow 3y = 48 \Rightarrow y = 16
\]
Ta có cặp nghiệm nguyên dương \( (15, 16) \).

Sau khi kiểm tra hết các giá trị \( x \) từ 1 đến 15, ta thấy có các cặp nghiệm nguyên dương sau đây:
\[
(3, 24), (6, 22), (9, 20), (12, 18), (15, 16)
\]

Vậy, số cặp nghiệm nguyên dương của phương trình \( 2x + 3y = 78 \) là \( \boxed{5} \).