Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \left(2x + \frac{1}{3}\right)^2 - 1 \), ta sẽ sử dụng các phương pháp đại số để phân tích biểu thức này.

Biểu thức có dạng:
\[ A = \left(2x + \frac{1}{3}\right)^2 - 1 \]

Biểu thức này có phần \(\left(2x + \frac{1}{3}\right)^2\), là một bình phương, do đó nó luôn không âm và có giá trị nhỏ nhất là 0 khi \(2x + \frac{1}{3} = 0\). Nhưng ở đây chúng ta tìm giá trị lớn nhất.

Nhận xét:
- \(\left(2x + \frac{1}{3}\right)^2\) là một hàm bình phương, do đó nó đạt giá trị nhỏ nhất là 0 và có thể tăng vô hạn khi \(2x\) tăng hoặc giảm vô hạn.

Tuy nhiên, không có giới hạn tự nhiên trên cho \(x\), do đó \(\left(2x + \frac{1}{3}\right)^2\) có thể lớn không giới hạn, nhưng điều này không có nghĩa là \(A\) sẽ có giá trị lớn nhất hữu hạn.

Phân tích:
- Để \(A\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của \(\left(2x + \frac{1}{3}\right)^2\) cần phải lớn nhất.

Do đó, biểu thức \(A = \left(2x + \frac{1}{3}\right)^2 - 1\) có thể tăng không giới hạn vì không có giới hạn trên cho \(2x + \frac{1}{3}\).

### Kết luận
Biểu thức \( A = \left(2x + \frac{1}{3}\right)^2 - 1 \) không có giá trị lớn nhất hữu hạn vì nó có thể tăng vô hạn khi \( x \) tăng hoặc giảm vô hạn. Do đó, không tồn tại giá trị lớn nhất cho \( A \) trong tập hợp các số thực.