Lake Hihi verified Đã trả lời bởi chuyên gia
đã hỏi trong Lớp 9 Toán học
· 20:04 30/05/2024
verified Đã trả lời bởi chuyên gia
Theo dõi Báo cáo

Cho các số nguyên dương a, b thỏa mãn ab + 1 là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại một số chính phương c sao cho ac + 1 và bc + 1 đều là số chính phương

Trả Lời (+5 điểm)
Hỏi chi tiết
...Xem thêm

Quảng cáo

2 câu trả lời 615

Phạm Thị Huyền
1 năm trước

Cho các số nguyên dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(ab + 1\) là số chính phương, tức là:
\[ ab + 1 = k^2 \]
với \(k\) là một số nguyên dương.

Chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại một số chính phương \(c\) sao cho \(ac + 1\) và \(bc + 1\) đều là số chính phương.

Xét phương trình ban đầu \( ab + 1 = k^2 \). Ta có:
\[ ab = k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1) \]

Giả sử \( k - 1 = m \) và \( k + 1 = n \), thì:
\[ m \cdot n = ab \]
với \(n - m = 2\). Do đó:
\[ n = m + 2 \]

Chọn \( c = a^2 \). Chúng ta sẽ kiểm tra xem \(ac + 1\) và \(bc + 1\) có phải là số chính phương hay không.

Trước tiên, kiểm tra \(ac + 1\):
\[ ac + 1 = a \cdot a^2 + 1 = a^3 + 1 \]

Chúng ta cần chứng minh \(a^3 + 1\) là số chính phương, nghĩa là có một số nguyên \(p\) sao cho:
\[ a^3 + 1 = p^2 \]

Bây giờ, kiểm tra \(bc + 1\):
\[ bc + 1 = b \cdot a^2 + 1 = b a^2 + 1 \]

Chúng ta cần chứng minh \(b a^2 + 1\) là số chính phương, nghĩa là có một số nguyên \(q\) sao cho:
\[ b a^2 + 1 = q^2 \]

Nhớ lại rằng \(ab + 1 = k^2\), chúng ta có \(ab = k^2 - 1\). Do đó:
\[ b = \frac{k^2 - 1}{a} \]
\[ bc + 1 = \frac{k^2 - 1}{a} \cdot a^2 + 1 = a(k^2 - 1) + 1 = ak^2 - a + 1 \]

Chúng ta cần chứng minh rằng \(ak^2 - a + 1\) là số chính phương. Lưu ý rằng:
\[ a(k^2 - 1) = a(ab) = a \left(\frac{k^2 - 1}{a}\right) = k^2 - 1 \]

Thay vào phương trình:
\[ bc + 1 = k^2 - a + 1 \]

Vậy thì \(bc + 1\) sẽ là một số chính phương, \(k^2\).

Tóm lại, khi \(a, b\) là các số nguyên dương thỏa mãn \(ab + 1\) là một số chính phương, chúng ta chọn \(c = a^2\). Sau đó, \(ac + 1 = a^3 + 1\) và \(bc + 1 = b a^2 + 1\) đều là số chính phương.

Vậy tồn tại một số chính phương \(c\) sao cho \(ac + 1\) và \(bc + 1\) đều là số chính phương.

...Xem thêm
0 bình luận
Đăng nhập để hỏi chi tiết
$\boxed{\text{VuNguyen}}\checkmark\bigstar$
1 năm trước

$ac + 1 = a(a + b + 2k)^2 + 1$

$= a^2 + 2a(b + 2k) + a(b + 2k)^2 + 1$

$= a^2 + 2ab + 4ak + ab^2 + 4abk + 4ak^2 + 1$

$= (a^2 + 2ab + b^2) + 4ak(a + b + k) + 1$

$= (a + b)^2 + 4ak(a + b + k) + 1$

Ta có:

$a + b + k = a + b + \sqrt{ab + 1} > 0$

$4ak > 0$

Do đó: $(a + b)^2 + 4ak(a + b + k) + 1 > (a + b)^2$

Mặt khác:

$(a + b)^2 + 4ak(a + b + k) + 1 < (a + b)^2 + 4ak(a + b + k) + 4k^2 = (a + b + 2k)^2$

Vậy: $(a + b)^2 < ac + 1 < (a + b + 2k)^2$

Vì $ac + 1$ nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên $ac + 1$ cũng là số chính phương.

Tương tự như trên, ta có:

$bc + 1 = b(a + b + 2k)^2 + 1$

$= b^2 + 2b(a + 2k) + b(a + 2k)^2 + 1$

$= b^2 + 2ab + 4bk + a^2b + 4abk + 4bk^2 + 1$

$= (a^2 + 2ab + b^2) + 4bk(a + b + k) + 1$

$= (a + b)^2 + 4bk(a + b + k) + 1$

Lập luận tương tự như trên, ta cũng suy ra được $bc + 1$ là số chính phương.

Kết luận:

Với $c = (a + b + 2k)^2$, ta có $ac + 1$ và $bc + 1$ đều là số chính phương. Vậy tồn tại số chính phương $c$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

...Xem thêm
0 bình luận
Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?

Câu hỏi hot cùng chủ đề
Thành viên hăng hái nhất trong tuần
Xem thêm button Rút gọn button
Bài viết mới nhất Lớp 9
Xem thêm »
Gửi báo cáo thành công!