- **Bài toán:** Cho tứ diện đều \(ABCD\) có \(AB, AC, AD\) vuông góc đôi một với nhau và có độ dài bằng 2. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(DB\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{BC}\).

---

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

- Vì \(AB, AC, AD\) vuông góc đôi một và đều có độ dài 2, ta có thể đặt tọa độ như sau cho dễ tính:

\[
A = (0,0,0)
\]
\[
B = (2,0,0)
\]
\[
C = (0,2,0)
\]
\[
D = (0,0,2)
\]

---

### Bước 2: Tính tọa độ điểm \(M\)

- \(M\) là trung điểm của đoạn \(DB\), nên:

\[
D = (0,0,2), \quad B = (2,0,0)
\]
\[
M = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1,0,1)
\]

---

### Bước 3: Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{BC}\)

\[
\overrightarrow{AM} = M - A = (1,0,1) - (0,0,0) = (1,0,1)
\]
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (0,2,0) - (2,0,0) = (-2,2,0)
\]

---

### Bước 4: Tính góc giữa hai vectơ

- Công thức tính góc \(\theta\) giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\):

\[
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
\]

- Tính tích vô hướng:

\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = (1)(-2) + (0)(2) + (1)(0) = -2 + 0 + 0 = -2
\]

- Tính độ dài các vectơ:

\[
|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]

- Tính \(\cos \theta\):

\[
\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

---

### Bước 5: Kết luận

- Góc \(\theta\) thỏa mãn:

\[
\cos \theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = 120^\circ
\]

---

## **Đáp án: Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{BC}\) bằng \(120^\circ\).**