Để tính tổng của các phân số và số nguyên, ta cần chuyển các phân số về cùng mẫu số trước.

\[\frac{4}{27} + \frac{5}{9} + \frac{13}{9} - 2\]

Đầu tiên, ta nhận thấy mẫu số của phân số thứ nhất là \(27\), phân số thứ hai và thứ ba có cùng mẫu số là \(9\).

\[= \frac{4}{27} + \frac{5}{9} + \frac{13}{9} - 2\]

Với phân số thứ ba, ta có thể viết lại dưới dạng hợp lệ:

\[= \frac{4}{27} + \frac{5}{9} + \frac{13 \times 3}{9} - 2\]
\[= \frac{4}{27} + \frac{5}{9} + \frac{39}{9} - 2\]

Bây giờ ta có thể thực hiện phép cộng:

\[= \frac{4}{27} + \frac{5}{9} + \frac{39}{9} - 2\]
\[= \frac{4}{27} + \frac{5 \times 3}{9} + \frac{39}{9} - 2\]
\[= \frac{4}{27} + \frac{15}{9} + \frac{39}{9} - 2\]
\[= \frac{4}{27} + \frac{15 + 39}{9} - 2\]
\[= \frac{4}{27} + \frac{54}{9} - 2\]
\[= \frac{4}{27} + \frac{6}{1} - 2\]

Bây giờ ta có thể thực hiện phép cộng:

\[= \frac{4}{27} + \frac{6}{1} - 2\]
\[= \frac{4}{27} + 6 - 2\]
\[= \frac{4}{27} + \frac{6 \times 27}{27} - \frac{2 \times 27}{27}\]
\[= \frac{4 + 162 - 54}{27}\]
\[= \frac{112}{27}\]

Vậy, tổng của \( \frac{4}{27} + \frac{5}{9} + \frac{13}{9} - 2 \) là \( \frac{112}{27} \).