Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải quyết các vấn đề toán học này:

a) Chứng minh tam giác ADH đồng dạng với tam giác BDA và tính độ dài BD, AH:

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chứng minh chúng có các góc tương ứng bằng nhau.

Tam giác ADH và tam giác BDA có:Góc A chung.
Góc HAD = góc ABD (cả hai đều là 90° do AH ⊥ BD và AB ⊥ BD).
Vì vậy, tam giác ADH đồng dạng với tam giác BDA theo tiêu chí góc-góc (AA).

Để tính độ dài BD và AH, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD:

BD^2 = AB^2 + AD^2BD2=AB2+AD2

BD^2 = 4^2 + 3^2BD2=42+32

BD^2 = 16 + 9BD2=16+9

BD^2 = 25BD2=25

BD = 5 \text{ cm}BD=5 cm

Bây giờ, vì tam giác ADH đồng dạng với tam giác BDA, tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau:

\frac{AD}{BD} = \frac{AH}{AD}BDAD​=ADAH​

\frac{3}{5} = \frac{AH}{3}53​=3AH​

AH = \frac{3 \times 3}{5}AH=53×3​

AH = \frac{9}{5}AH=59​

AH = 1.8 \text{ cm}AH=1.8 cm

b) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD và suy ra BH.BD = CD^2:

Tam giác AHB và tam giác BCD có:Góc B chung.
Góc ABH = góc BCD (cả hai đều là 90°).
Vì vậy, tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD theo tiêu chí góc-góc (AA).

Khi hai tam giác đồng dạng, tỉ số bình phương của các cạnh tương ứng bằng nhau:

\frac{BH}{BC} = \frac{BD}{CD}BCBH​=CDBD​

BH \times BD = BC^2BH×BD=BC2

BH \times BD = 3^2BH×BD=32

BH \times BD = 9 \text{ cm}^2BH×BD=9 cm2

c) Chứng minh IK vuông góc CH:

Để chứng minh IK ⊥ CH, ta cần chứng minh rằng góc CIK và góc KIH là các góc vuông.

Gọi M là trung điểm của AH. Vì I là trung điểm của BE và K là trung điểm của DF, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:IM là đường trung bình của tam giác ABE, do đó IM // AE và IM = 1/2 AE.
KM là đường trung bình của tam giác AFD, do đó KM // AF và KM = 1/2 AF.
Vì AE và AF cùng vuông góc với BD, nên IM và KM cũng vuông góc với BD. Điều này có nghĩa là IK vuông góc với BD tại M.

Vì CH là đường cao của tam giác ABD từ C đến BD, nó cũng vuông góc với BD.
Vì cả IK và CH đều vuông góc với BD và cắt nhau tại M, chúng phải vuông góc với nhau. Do đó, IK ⊥ CH.