**a) Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn:**

Ta cần chứng minh rằng các góc \( \angle AMN \) và \( \angle AON \) đều bằng \( 90^\circ \), tức là tứ giác \( AMNO \) là một tứ giác nội tiếp.

Vì \( AM \) là tiếp tuyến với đường tròn tại \( M \), nên \( \angle AMO \) là góc vuông.

Gọi \( N \) là trung điểm của \( BC \). Khi đó, \( NO \) sẽ là đường phân giác của tam giác \( ABC \) (vì \( N \) là trung điểm của \( BC \)).

Vì \( NO \) là đường phân giác, nên \( \angle NBO = \angle NCO \).

Xét tam giác vuông \( HOM \):
- \( OH \) là chiều cao từ \( O \) trong tam giác \( HOM \).
- \( AM \) là đường cao từ \( A \) trong tam giác \( HOM \).

Như vậy, \( \angle MOH = \angle MAH = 90^\circ \).

Vậy tứ giác \( AMNO \) nội tiếp đường tròn.

**b) Chứng minh \( AM^2 = AB \cdot AC \) và \( \angle OCH = \angle OBH \):**

Ta sẽ chứng minh mỗi phần một:

- **Chứng minh \( AM^2 = AB \cdot AC \):**

Xét tam giác vuông \( AOM \) và \( AMN \):
- \( \angle MAH = \angle MOH = 90^\circ \).
- \( AM \) là đường cao của tam giác \( AOM \).
- \( MN \) là đường cao của tam giác \( AMN \).

Như vậy, \( AM^2 = AM \cdot MN \).

Vậy cần chứng minh \( AM \cdot MN = AB \cdot AC \).

Ta biết \( N \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( MN = \frac{1}{2} BC \).

Nhưng \( AB = AC \), vì \( B \) là trung điểm của \( AC \).

Vậy \( AB \cdot AC = \frac{1}{2} BC \cdot AC = AM \cdot MN = AM^2 \).

- **Chứng minh \( \angle OCH = \angle OBH \):**

Như trên, ta biết \( \angle MAH = 90^\circ \).

\( H \) là hình chiếu của \( M \) lên \( OA \), do đó \( \angle OCH = \angle OBH \) vì \( OH \) là đường cao của tam giác \( OBH \) và \( OCH \).

**c) Chứng minh ba điểm \( E \), \( F \), \( N \) thẳng hàng:**

Xét tam giác vuông \( OBC \):
- \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( O \) lên \( HC \).
- \( F \) là hình chiếu vuông góc của \( O \) lên \( HB \).

Như vậy, \( OE \) và \( OF \) là hai đường cao của tam giác \( OBC \), do đó \( EF \) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( OBC \).

Nhưng ta đã chứng minh rằng \( \angle OCH = \angle OBH \), vậy \( \angle COB = 90^\circ \), nên \( EF \) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( OBC \).

Như vậy, \( E \), \( F \), \( N \) thẳng hàng trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \( OBC \).